Qual é o domínio e alcance de y = 4 / (x ^ 2-1)?

Responda:

Domínio: # (- oo, -1) uu (-1, 1) uu (1, oo) #

Alcance: # (- oo, -4 uu (0, oo) #

Explicação:

Melhor explicado através do gráfico.

gráfico {4 / (x ^ 2-1) -5, 5, -10, 10}

Podemos ver que, para o domínio, o gráfico começa no infinito negativo. Em seguida, ele atinge uma assíntota vertical em x = -1.

Essa palestra matemática sofisticada para o gráfico não está definida em x = -1, porque nesse valor temos #4/((-1)^2-1)# que é igual #4/(1-1)# ou #4/0#.

Como você não pode dividir por zero, você não pode ter um ponto em x = -1, então o mantemos fora do domínio (lembre-se de que o domínio de uma função é a coleção de todos os valores x que produzem um y-value).

Então, entre -1 e 1, está tudo bem, então temos que incluí-lo no domínio.

As coisas começam a ficar funky em x = 1 novamente. Mais uma vez, quando você liga 1 para x, o resultado é #4/0# então temos que excluir isso do domínio.

Para resumir, o domínio da função é de infinito negativo para -1, depois de -1 para 1 e, em seguida, para infinito. A maneira matemática de expressar isso é # (- oo, -1) uu (-1, 1) uu (1, oo) #.

O intervalo segue a mesma ideia: é o conjunto de todos os valores y da função. Podemos ver no gráfico que, do infinito negativo para -4, tudo está bem.

Então as coisas começam a ir para o sul. Em y = -4, x = 0; mas então, se você tentar y = -3, você não receberá um x. Ver:

# -3 = 4 / (x ^ 2-1) #

# -3 (x ^ 2-1) = 4 #

# x ^ 2-1 = -4 / 3 #

# x ^ 2 = -4 / 3 + 1 = -1 / 3 #

#x = sqrt (-1/3) #

Não existe a raiz quadrada de um número negativo. Isso está dizendo que alguns números ao quadrado são iguais #-1/3#, o que é impossível porque a quadratura de um número sempre tem um resultado positivo.

Que significa #y = "-" 3 # é indefinido e por isso não faz parte do nosso alcance. O mesmo vale para todos os valores y entre 4 e 0.

De 0 acima, tudo é bom todo o caminho até o infinito. Nosso alcance é então infinito negativo para -4, então 0 para infinito; em termos matemáticos, # (- oo, -4 uu (0, oo) #.

Em geral, para encontrar domínio e alcance, você precisa procurar lugares onde as coisas são suspeitas. Isso geralmente envolve coisas como dividir por zero, pegando a raiz quadrada de um número negativo, etc.

Sempre que você encontrar um ponto como este, remova-o do domínio / intervalo e crie sua notação de intervalo.