Como você integra int sec ^ -1x pela integração pelo método de partes?

Responda:

A resposta é # = x "arco" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + c #

Explicação:

Nós precisamos

# (seg ^ -1x) '= ("arco" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

# intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) #

Integração por partes é

# intu'v = uv-intuv '#

Aqui temos

# u '= 1 #, #=>#, # u = x #

# v = "arc" secx #, #=>#, # v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

Assim sendo, #int "arco" secxdx = x "arco" secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) #

Executar a segunda integral por substituição

Deixei # x = secu #, #=>#, # dx = secutanudu #

#sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu #

# intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu) / (tanu) = intsecudu #

# = int (secu (secu + tanu) du) / (secu + tanu) #

# = int ((sec ^ 2u + secutanu) du) / (secu + tanu) #

Deixei # v = secu + tanu #, #=>#, # dv = (sec ^ 2u + secutanu) du #

Assim, # intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (dv) / (v) = lnv #

# = ln (secu + tanu) #

# = ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) #

Finalmente, #int "arco" secxdx = x "arco" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + c #

Responda:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + c #

Explicação:

Alternativamente, podemos usar uma fórmula pouco conhecida para calcular integrais de funções inversas. A fórmula afirma:

#int f ^ -1 (x) dx = xf ^ -1 (x) -F (f ^ -1 (x)) + C #

Onde # f ^ -1 (x) # é o inverso de #f (x) # e #F (x) # é o anti-derivativo de #f (x) #.

No nosso caso, obtemos:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -F (seg ^ -1 (x)) + C #

Agora tudo o que precisamos resolver é o anti-derivativo # F #, que é a integral familiar secante:

#int sec (x) dx = ln | seg (x) + tan (x) | + c #

Conectar isso de volta à fórmula dá a nossa resposta final:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln | seg (seg ^ -1 (x)) + tan (sec ^ -1 (x)) | + C #

Precisamos ter cuidado com a simplificação #tan (seg ^ -1 (x)) # para #sqrt (x ^ 2-1) # porque a identidade só é válida se # x # é positivo. Temos sorte, no entanto, porque podemos consertar isso colocando um valor absoluto no outro termo dentro do logaritmo. Isso também elimina a necessidade do primeiro valor absoluto, já que tudo dentro do logaritmo sempre será positivo:

# xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + c #