O que é igual? lim_ (x-> pi / 2) sen (cosx) / (cos ^ 2 (x / 2) -sin ^ 2 (x / 2)) =?

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#1#

Explicação:

# "Note que:" cor (vermelho) (cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = cos (2x)) #

# "Então aqui temos" #

#lim_ {x-> pi / 2} sen (cos (x)) / cos (x) #

# "Agora aplique a regra de l 'Hódulo:" #

# = lim_ {x-> pi / 2} cos (cos (x)) * (- sen (x)) / (- sin (x)) #

# = lim_ {x-> pi / 2} cos (cos (x)) #

# = cos (cos (pi / 2)) #

# = cos (0) #

#= 1#

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# 1#.

Explicação:

Aqui está uma maneira de encontrar o limite sem usando Regra de L'Hospital:

Nós vamos usar, #lim_ (alfa para 0) sinalpha / alpha = 1 #.

Se tomarmos # cosx = theta #, então como #x para pi / 2, theta para 0 #.

Substituindo # cos ^ 2 (x / 2) -sin ^ 2 (x / 2) # por # cosx = theta, # temos, #:. "O reqd. Lim." = Lim_ (theta para 0) sintheta / theta = 1 #.

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#1#

Explicação:

Nós sabemos isso, #color (vermelho) (cosA = cos ^ 2 (A / 2) -sin ^ 2 (A / 2)) #

Assim, # L = lim_ (x-> pi / 2) (sen (cosx)) / (cos ^ 2 (x / 2) -sin ^ 2 (x / 2)) = lim_ (x-> pi / 2) (sin (cosx)) / (cosx) #

Leva,# cosx = theta, #

Nós temos, #xto (pi / 2) rArrtheta tocos (pi / 2) rArrtheta to0 #

#:. L = lim_ (theta-> 0) (sintheta) / theta = 1 #