Prove sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

Responda:

Em Explicação

Explicação:

Em um plano de coordenadas normal, temos coordenadas como (1,2) e (3,4) e coisas assim. Podemos reexpressar essas coordenadas n termos de raios e ângulos. Então, se temos o ponto (a, b), isso significa que vamos unidades para a direita, b unidades para cima e #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # como a distância entre a origem e o ponto (a, b). eu ligarei #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r #

Então nós temos # re ^ arctan (b / a) #

Agora, para terminar esta prova, vamos relembrar uma fórmula.

# e ^ (itheta) = cos (teta) + isin (teta) #

A função de arco bronzeado me dá um ângulo que também é teta.

Então nós temos a seguinte equação:

# e ^ i * arctan (b / a) = cos (arctan (b / a)) + sin (arctan (b / a)) #

Agora vamos desenhar um triângulo retângulo.

O arctan de (b / a) me diz que b é o lado oposto e a é o lado adjacente. Então, se eu quiser o cos do arctan (b / a), usamos o teorema de Pitágoras para encontrar a hipotenusa. A hipotenusa é #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #. Então o cos (arctan (b / a)) = adjacente à hipotenusa # a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

A melhor parte sobre isso é o fato de que esse mesmo princípio se aplica ao seno. Então pecado (arctan (b / a)) = oposto a hipotenusa # b / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Então agora podemos re-expressar nossa resposta como esta: #r * ((a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) + (bi / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2))) #.

Mas lembre-se #r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # então agora nós temos: #r * ((a / r) + (bi / r)) #. O r é cancelado e você fica com o seguinte: # a + bi #

Assim sendo, # (re ^ ((arctan (b / a)))) = a + bi #