Como usar o primeiro teste derivativo para determinar o extremo local = sin x cos x?

Responda:

Os extremos para # y = sin (x) cos (x) # está

# x = pi / 4 + npi / 2 #

com # n # um inteiro relativo

Explicação:

Estar #f (x) # a função que representa a variação de # y # com repsect to # x #.

Estar #f '(x) # o derivado de #f (x) #.

#f '(a) # é a inclinação do #f (x) # curva no # x = a # ponto.

Quando a inclinação é positiva, a curva está aumentando.

Quando a inclinação é negativa, a curva está diminuindo.

Quando a inclinação é nula, a curva permanece no mesmo valor.

Quando a curva atinge um extremo, ela pára de aumentar / diminuir e começa a diminuir / aumentar. Em outras palavras, o declive vai de positivo para negativo - ou negativo para positivo - passando pelo valor zero.

Portanto, se você está procurando os extremos de uma função, deve procurar os valores nulos de sua derivada.

N.B. Há uma situação em que a derivada é nula, mas a curva não atinge um extremo: ela é chamada de ponto de inflexão. a curva parará momentaneamente de aumentar / diminuir e então retomará seu aumento / diminuição. Portanto, você também deve verificar se o sinal da inclinação muda em torno de seu valor nulo.

Exemplo: #f (x) = sin (x) cos (x) = y #

#f '(x) = (dsin (x)) / dxcdotcos (x) + sen (x) cdot (dcos (x)) / dx #

# = cos (x) cdotcos (x) + sen (x) cdot (-sin (x)) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) #

Agora que temos a fórmula para #f '(x) #, vamos procurar por seus valores nulos:

#f '(x) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = 0 rarr cos ^ 2 (x) = sin ^ 2 (x) #

As soluções são # pi / 4 + npi / 2 # com # n # um inteiro relativo.

Responda:

Mesmo que planejemos usar o primeiro teste derivativo, vale a pena observar que #y = 1/2 sin (2x) #.

Explicação:

Tendo feito essa observação, nós realmente não precisamos de cálculo para encontrar os extremos.

Podemos confiar em nosso conhecimento de trigonometria e nos gráficos de funções sinusoidais

O valor máximo (de 1/2) ocorrerá quando # 2x = pi / 2 + 2pik # ou quando #x = pi / 4 + pik # para #k # um inteiro.

O mínimo ocorre em #x = 3pi / 4 + pik # para #k # um inteiro.

Podemos usar o derivado, mas realmente não precisamos dele.

Usando o derivado

Tendo reescrito # y #, podemos ver rapidamente que #y '= cos (2x) #

Então os números críticos para # y # está # 2x = pi / 2 + 2pik # e # 2x = (3pi) / 2 + 2pik #, (quando o cosseno é #0#) ou

# x = pi / 4 + pik # e # x = (3pi) / 4 + pik #

Verificando o sinal de #y '= cos (2x) #, vamos encontrar valores máximos no primeiro conjunto de números críticos e valores mínimos no segundo.