Suponha que z = x + yi, onde x e y são números reais. Se (iz-1) / (z-i) é um número real, mostre que quando (x, y) não é igual a (0, 1), x ^ 2 + y ^ 2 = 1?

Responda:

Por favor veja abaixo,

Como # z = x + iy #

# (iz-1) / (z-i) = (i (x + i) -1) / (x + i-i) #

= # (ix-y-1) / (x + i (y-1)) #

= # (ix- (y + 1)) / (x + i (y-1)) xx (x-i (y-1)) / (x-i (y-1)) #

= # ((ix- (y + 1)) (x-i (y-1))) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (ix ^ 2 + x (y-1) -x (y + 1) + i (y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (x ((y-1) - (y + 1)) + i (x ^ 2 + y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (- 2x + i (x ^ 2 + y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

Como # (iz-1) / (z-i) # é real

# (x ^ 2 + y ^ 2-1) = 0 # e # x ^ 2 + (y-1) ^ 2! = 0 #

Agora como # x ^ 2 + (y-1) ^ 2 # é a soma de dois quadrados, pode ser zero somente quando # x = 0 # e # y = 1 # isto é

E se # (x, y) # não é #(0,1)#, # x ^ 2 + y ^ 2 = 1 #