Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) Calcula o valor da expectativa em qualquer momento posterior t = t_1, phi_n são autofunções de energia do potencial infinito bem. Escreva a resposta em termos de E_0?

Bem, eu fico # 14 / 5E_1 #… e dado o seu sistema escolhido, não pode ser re-expressado em termos de # E_0 #.

Existem tantas regras da mecânica quântica quebradas nesta questão …

o # phi_0 #, já que estamos usando infinitas soluções de poços potenciais, desaparece automaticamente … #n = 0 #, assim #sin (0) = 0 #.

E para o contexto, nós deixamos #phi_n (x) = sqrt (2 / L) sen ((npix) / L) #…

Isto é impossível escrever a resposta em termos de # E_0 # Porque #n = 0 # NÃO existe para o potencial infinito bem. A menos que você queira que a partícula desaparecer , Devo escrevê-lo em termos de # E_n #, #n = 1, 2, 3,.. #…
A energia é uma constante do movimento, ou seja # (d << E >>) / (dt) = 0 #…

Então agora…

#Psi_A (x, 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) sin ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) sin ((2pix) / L) #

O valor da expectativa é uma constante do movimento, então não nos importamos com a hora # t_1 # nós escolhemos. Caso contrário, este não é um sistema conservador …

# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # para alguns #n = 1, 2, 3,.. #

De fato, nós já sabemos o que deveria ser, já que o Hamiltoniano para o potencial infinito unidimensional é bem INDEPENDENTE …

#hatH = -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (delt) = 0 #

e a # (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*" (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # vá para 1 na integral:

#color (azul) (<< E >>) = (1 / 3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ "*" (x, t) hatHPhi_1 (x, t) dx + 1 / 2int_ (0) ^ (L) Phi_2 ^ "*" (x, t) hatHPhi_2 (x, t) dx) / (<< Psi | Psi >>) #

onde nós deixamos #Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #. Mais uma vez, todos os fatores de fase se cancelam, e notamos que os termos fora da diagonal vão para zero devido à ortogonalidade do # phi_n #.

O denominador é a norma de # Psi #, qual é

#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 #.

Assim sendo, # << Psi | Psi >> = 5/6 #. Isso dá:

# => (1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sen ((pix) / L) cancelar (e ^ (iE_1t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((pix) / L) cancelar (e ^ (-iE_1t_http: // ℏ)) dx + (1 / sqrt2) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sen ((2pix) / L) cancelar (e ^ (iE_2t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((2pix) / L) cancelar (e ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5 // 6) #

Aplique os derivados:

# = 6/5 1/3 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sen ((pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot pi ^ 2 / L ^ 2 sen ((pix) / L) dx + 1/2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sen ((2pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot (4pi ^ 2) / L ^ 2 pecado ((2pix) / L) dx #

Constantes flutuam para fora:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sen ((pix) / L) sin ((pix) / L) dx + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sen ((2pix) / L) sin ((2pix) / L) dx #

E esta integral é conhecida por razões físicas para estar a meio caminho entre #0# e #EU#, independente de # n #:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) l / 2 #

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) #

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = cor (azul) (14/5 E_1) #

Responda:

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0 #

Explicação:

Cada estado estacionário correspondente ao autovalor de energia # E_n # pega um fator de fase #e ^ {- iE_n t} # na evolução do tempo. O estado dado é não um estado estacionário - uma vez que é a superposição de auto-estados de energia pertencentes a diferentes autovalores. Como resultado, ele evoluirá no tempo de maneira não trivial. No entanto, a equação de Schroedinger que governa a evolução temporal dos estados é linear - de modo que cada autofunção de energia componente evolui independentemente - captando seu próprio fator de fase.

Então, a função de onda inicial

#psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) #

evolui no tempo # t # para

#psi_A (x, t) = sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t} #

Assim, o valor da expectativa de energia no tempo # t # É dado por

# <E> = int_-infty ^ infty psi_A ** (x, t) chapéu {H} psi_A (x, t) dx #

# = int_infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {iE_2ℏ t}) hat {H} (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

# = int_-infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {iE_2 / ℏ t}) vezes (sqrt (1/6) E_0phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) E_1phi_1 (x) e ^ { -iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) E_2phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

onde usamos o fato de que o #phi_i (x) # são autofunções de energia, de modo que #hat {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

Isso ainda nos dá nove termos. No entanto, o cálculo final é muito simplificado pelo fato de que as autofunções de energia são orto-normalizadas, isto é eles obedecem

# int_-infty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {ij} #

Isso significa que das nove integrais, apenas três sobrevivem e

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 #

Usando o resultado padrão que #E_n = (n + 1) ^ 2 E_0 #, temos # E_1 = 4E_0 # e # E_2 = 9E_0 # para um potencial infinito bem (você pode estar mais acostumado a uma expressão que diz #E_n propto n ^ 2 # por um poço infinito - mas nestes o estado fundamental é rotulado # E_1 # - aqui estamos rotulando # E_0 # - daí a mudança). portanto

# <E> = (1/6 vezes 1 + 1/3 vezes 4 + 1/2 vezes 9) E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

Nota:

Enquanto autofunções de energia individuais evoluem com o tempo, captando um fator de fase, a função global de onda não diferem do inicial por apenas um fator de fase - é por isso que não é mais um estado estacionário.
As integrais envolvidas eram como

# int_-infty ^ infty psi_i (x) e ^ {+ iE_i / ℏ t} E_j psi_j e ^ {- iE_j / ℏ t} dx = E_j e ^ {i (E_i-E_j) / }t} times int_-infty ^ infty psi_i (x) psi_j (x) dx #

e estes parecem ser dependentes do tempo. No entanto, as únicas integrais que sobrevivem são aquelas para # i = j # - e estes são precisamente aqueles para os quais a dependência de tempo cancela.
Os últimos resultados se ajustam ao fato de que #Tem}# é conservado - embora o estado não seja um estado estacionário - o valor da expectativa de energia é independente do tempo.
A função de onda original já está normalizada desde # (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # e esta normalização é preservada na evolução temporal.
Poderíamos ter reduzido muito trabalho se tivéssemos feito uso de um resultado da mecânica quântica padrão - se uma função de onda fosse expandida na forma #psi = sum_n c_n phi_n # onde o # phi_n # são autofunções de um operador hermitiano #hat {A} #, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n #, então # <hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #, desde que, é claro, os estados estejam devidamente normalizados.