Qual é a raiz quadrada de 90?

Responda:

#sqrt (90) = 3sqrt (10) ~~ 1039681/109592 ~~ 9.48683298051 #

Explicação:

#sqrt (90) = sqrt (3 ^ 2 * 10) = 3sqrt (10) # é um número irracional em algum lugar entre #sqrt (81) = 9 # e #sqrt (100) = 10 #.

De fato, desde #90 = 9 * 10# é da forma #n (n + 1) # ele tem uma expansão contínua da fração contínua da forma # n; bar (2,2 n) #:

#sqrt (90) = 9; bar (2,18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18+)…)))))) #

Uma maneira divertida de encontrar aproximações racionais é usar uma sequência inteira definida por uma recorrência linear.

Considere a equação quadrática com zeros # 19 + 2sqrt (90) # e # 19-2sqrt (90) #:

# 0 = (x-19-2sqrt (90)) (x-19 + 2sqrt (90)) #

#color (branco) (0) = (x-19) ^ 2- (2sqrt (90)) ^ 2 #

#color (branco) (0) = x ^ 2-38x + 361-360 #

#color (branco) (0) = x ^ 2-38x + 1 #

Assim:

# x ^ 2 = 38x-1 #

Use isso para derivar uma sequência:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 38a_ (n + 1) -a_n):} #

Os primeiros termos desta seqüência são:

#0, 1, 38, 1443, 54796, 2080805,…#

A razão entre os termos sucessivos tenderá a # 19 + 2sqrt (90) #

Conseqüentemente:

#sqrt (90) ~~ 1/2 (2080805 / 54796-19) = 1/2 (1039681/54796) = 1039681/109592 ~~ 9.48683298051 #