Questão # 41113

Responda:

Esta série só pode ser uma seqüência geométrica se # x = 1/6 #ou para o centésimo mais próximo # xapprox0.17 #.

Explicação:

A forma geral de uma sequência geométrica é a seguinte:

# a, ar, ar ^ 2, ar ^ 3, … #

ou mais formalmente # (ar ^ n) _ (n = 0) ^ oo #.

Desde que temos a sequência # x, 2x + 1,4x + 10, … #podemos definir # a = x #, assim # xr = 2x + 1 # e # xr ^ 2 = 4x + 10 #.

Dividindo por # x # dá # r = 2 + 1 / x # e # r ^ 2 = 4 + 10 / x #. Podemos fazer essa divisão sem problemas, já que se # x = 0 #, então a seqüência seria constantemente #0#, mas # 2x + 1 = 2 * 0 + 1 = 1ne0 #. Portanto, sabemos com certeza # xne0 #.

Desde que nós temos # r = 2 + 1 / x #, nós sabemos

# r ^ 2 = (2 + 1 / x) ^ 2 = 4 + 4 / x + 1 / x ^ 2 #.

Além disso, encontramos # r ^ 2 = 4 + 10 / x #, então isso dá:

# 4 + 10 / x = 4 + 4 / x + 1 / x ^ 2 #, reorganizando isso dá:

# 1 / x ^ 2-6 / x = 0 #multiplicando por # x ^ 2 # dá:

# 1-6x = 0 #, assim # 6x = 1 #.

A partir disso concluímos # x = 1/6 #.

Para o centésimo mais próximo isso dá # xapprox0.17 #.

Responda:

Como Daan disse, se a sequência é geométrica, devemos ter # x = 1/6 ~ ~ 0,17 # Aqui está uma maneira de ver isso:

Explicação:

Em uma seqüência geométrica, os termos têm uma razão comum.

Então, se essa sequência é geométrica, devemos ter:

# (2x + 1) / x = (4x + 10) / (2x + 1) #

Resolver esta equação nos leva #x = 1/6 #