Responda:
A linha tangente é paralela à # x # eixo quando a inclinação (daqui # dy / dx #) é zero e é paralelo ao # y # eixo quando a inclinação (novamente, # dy / dx #) vai para # oo # ou #ooo
Explicação:
Vamos começar encontrando # dy / dx #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #
# 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 #
# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #
Agora, # dy / dx = 0 # quando o nuimerador é #0#, desde que isso também não faça o denominador #0#.
# 2x + y = 0 # quando #y = -2x #
Temos agora duas equações:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
#y = -2x #
Resolva (por substituição)
# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
Usando #y = -2x #, Nós temos
A tangente à curva é horizontal nos dois pontos:
# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # e # (- sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #
(Observe que estes pares não fazem também o denominador de # dy / dx # igual a #0#)
Para encontrar os pontos nos quais a tangente é vertical, faça o denominador de # dy / dx # igual tpo #0# (sem também fazer o numerador #0#).
Poderíamos passar pela solução, mas a simetria da equação que obteremos:
# x = -2y #, assim
#y = + - sqrt21 / 3 #
e os pontos na curva em que a tangente é vertical são:
# (- (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # e # ((2sqrt21) / 3, -sqrt21 / 3) #
A propósito. Porque nós temos a tecnologia, aqui está o gráfico desta elipse rotacionada: (Note que # + - sqrt21 / 3 ~~ + - 1.528 # que você pode ver no gráfico.)
gráfico {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11,3, 11,2, -5,665, 5,585}
Responda:
Usando apenas matemática do ensino médio eu recebo
Tangentes paralelos ao eixo x em:
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) e (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Tangentes paralelos ao eixo y em:
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) e (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Explicação:
Olhei de relance para a resposta de Jim, que parece um bom tratamento de cálculo padrão. Mas não pude deixar de me sentir triste por todos os alunos do ensino médio em Socrática, que querem encontrar tangentes de curvas algébricas, mas ainda estão a anos de distância do cálculo.
Felizmente, eles podem fazer esses problemas usando apenas a Álgebra I.
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
Isso pode ser um pouco complicado para um primeiro exemplo, mas vamos em frente. Nós escrevemos nossa curva como #f (x, y) = 0 # Onde
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
Vamos levar # (r, s) # como um ponto em # f #. Queremos investigar # f # perto # (r, s) # então nós escrevemos
#f (x, y) = f (r + (x-r), s + (y-s)) #
# = (r + (x-r)) ^ 2 + (r + (x-r)) (s + (y-s)) + (s + (y-s)) ^ 2-7 #
Nós expandimos, mas não expandimos os termos da diferença # x-r # e # y-s #. Queremos mantê-los intactos para que possamos experimentar eliminar alguns mais tarde.
#f (x, y) = r ^ 2 + 2r (xr) + (xr) ^ 2 + (rs + s (xr) + r (ys) + (xr) (ys)) + s ^ 2 + 2s (ys) + (ys) ^ 2-7 #
# = (r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) (ys) #
# = f (r, s) + (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Nós dissemos # (r, s) # está ligado # f # assim #f (r, s) = 0 #.
#f (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Nós classificamos os termos por grau, e podemos experimentar aproximações para # f # perto # (r, s) # largando os graus mais altos. A ideia é quando # (x, y) # é perto # (r, s) # então # x-r # e # y-s # são pequenos, e seus quadrados e produtos são ainda menores.
Vamos apenas gerar algumas aproximações para # f #. Desde a # (r, s) # está na curva, a aproximação constante, perdendo todos os termos de diferença, é
# f_0 (x, y) = 0 #
Isso não é particularmente excitante, mas nos diz corretamente pontos próximos # (r, s) # vai dar um valor próximo de zero para # f #.
Vamos ficar mais interessantes e manter os termos lineares.
# f_1 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Quando definimos isso para zero, obtemos a melhor aproximação linear para # f # perto # (r, s), # qual é o linha tangente para # f # a # (r, s). # Agora estamos chegando a algum lugar.
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Podemos considerar outras aproximações também:
# f_2 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 #
# f_3 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Estas são as tangentes de ordem mais alta, aquelas que os estudantes de matemática raramente conseguem. Nós já fomos além do cálculo da faculdade.
Existem mais aproximações, mas estou sendo avisado que isso está ficando longo. Agora que aprendemos a fazer cálculos usando apenas a Álgebra I, vamos fazer o problema.
Queremos encontrar os pontos onde a linha tangente é paralela à # x # eixo e # y # eixo.
Encontramos nossa linha tangente em # (r, s) # é
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Paralelamente ao # x # eixo significa uma equação #y = texto {constante} #. Então o coeficiente de # x # deve ser zero:
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (r, s) # está na curva assim #f (r, s) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
Desde a # s = -2r # os pontos são
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) e (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Similarmente paralelo ao eixo y # 2s + r = 0 # que deve apenas trocar x e y devido à simetria do problema. Então os outros pontos são
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) e (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Verifica.
Como verificar? Vamos fazer uma trama alfa.
plot x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7, x = -sqrt {7/3}, y = 2 sqrt {7/3}, x = 2sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3 }
Parece bom. Cálculo em curvas algébricas. Muito bom para o ensino médio.
