Esta é uma prova trigonométrica de um caso generalizado, a questão está na caixa de detalhes?

Responda:

A prova por indução está abaixo.

Explicação:

Vamos provar essa identidade por indução.

A. Para # n = 1 # temos que verificar isso

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

De fato, usando identidade #cos (2theta) = 2cos ^ 2 (teta) -1 #, nós vemos que

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2cos ^ 2 (teta) -1) +1 = 4cos ^ 2 (teta) -1 = #

# = (2cos (theta) -1) * (2cos (theta) +1) #

a partir do qual segue que

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Então, por # n = 1 # nossa identidade é verdadeira.

B. Suponha que a identidade seja verdadeira para # n #

Então, nós assumimos que

# (2cos (2 ^ ntheta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j em 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(símbolo # Pi # é usado para o produto)

C. Usando a suposição B acima, vamos provar a identidade para # n + 1 #

Temos que provar que a suposição B segue

# (2cos (2 ^ (n + 1) teta) +1) / (2cos (teta) +1) = Pi _ (j em 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(observe que o limite direito para um índice de multiplicação é # n # agora).

PROVA

Usando uma identidade #cos (2x) = 2cos ^ 2 (x) -1 # para # x = 2 ^ ntheta #, # 2cos (2 ^ (n + 1) teta) +1 = 2cos (2 * (2 ^ n * teta)) + 1 = #

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 +1 = #

# = 4cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 #

Divida as expressões iniciais e finais por # 2cos (theta) +1 #, obtendo

# 2cos (2 ^ (n + 1) teta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 / 2cos (theta) +1 #

Agora usamos a suposição B

# 2cos (2 ^ (n + 1) teta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * Pi _ (j em 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 = #

# = Pi _ (j em 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(observe que o intervalo de um índice agora é estendido para # n #).

A última fórmula é exatamente a mesma para # n + 1 # como original é para # n #. Isso completa a prova por indução de que nossa fórmula é verdadeira para qualquer # n #.

Responda:

Veja a Prova na Seção de Explicação abaixo.

Explicação:

Isso é equivalente a provar que, # (2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) = (2cos2 ^ nx + 1) #

# "O L.H.S." = {(2cosx + 1) (2cosx-1)} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4cos ^ 2x-1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4 ((1 + cos2x) / 2) -1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) …. (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos2x + 1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (4cos ^ 2 (2x) -1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos (2 * 2x) +1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos4x + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos8x + 1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# vdots #

# = {2cos (2 * 2 ^ (n-1) x) +1)} #

# = (2cos2 ^ nx + 1) #

# = "o R.H.S." #

Desfrute de matemática!