K é um número real que satisfaz a seguinte propriedade: "para cada 3 números positivos, a, b, c; se a + b + c K, em seguida, abc K" Você pode encontrar o maior valor de K?

Responda:

# K = 3sqrt (3) #

Explicação:

Se colocarmos:

# a = b = c = K / 3 #

Então:

#abc = K ^ 3/27 <= K #

Assim:

# K ^ 2 <= 27 #

Assim:

#K <= sqrt (27) = 3sqrt (3) #

Se tiver-mos # a + b + c <= 3sqrt (3) # então podemos dizer que o caso # a = b = c = sqrt (3) # dá o valor máximo possível de #abc#:

Por exemplo, se consertarmos #c in (0, 3sqrt (3)) # e deixar #d = 3sqrt (3) -c #, então:

# a + b = d #

Assim:

#abc = a (d-a) c #

#color (branco) (abc) = (ad-a ^ 2) c #

#color (branco) (abc) = (d ^ 2 / 4- (a ^ 2-2 (a) (d / 2) + (d / 2) ^ 2)) c #

#color (branco) (abc) = (d ^ 2- (a-d / 2) ^ 2) c #

que tem seu valor máximo quando # a = d / 2 # e # b = d / 2 #é quando # a = b #.

Da mesma forma, se consertarmos # b #, então achamos que o máximo é quando # a = c #.

Daí o valor máximo de #abc# é atingido quando # a = b = c #.

assim # K = 3sqrt (3) # é o valor máximo possível de # a + b + c # de tal modo que #abc <= K #