Pergunta # dbd28

Responda:

Defina a distância entre o gráfico e o ponto como uma função e encontre o mínimo.

O ponto é #(3.5,1.871)#

Explicação:

Para saber o quão perto eles estão, você precisa saber a distância. A distância euclidiana é:

#sqrt (Δx ^ 2 + Δy ^ 2) #

onde Δx e Δy são as diferenças entre os 2 pontos. Para ser o ponto mais próximo, esse ponto tem que ter a distância mínima. Portanto, definimos:

#f (x) = sqrt ((x-4) ^ 2 + (x ^ (1/2) -0) ^ 2) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + (x ^ (1/2)) ^ 2) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + x ^ (1/2 * 2)) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + x) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-7x + 16) #

Agora precisamos encontrar o mínimo desta função:

#f '(x) = 1 / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) * (x ^ 2-7x + 16)' #

#f '(x) = (2x-7) / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) #

O denominador é sempre positivo como uma função de raiz quadrada. O numerador é positivo quando:

# 2x-7> 0 #

#x> 7/2 #

#x> 3,5 #

Então a função é positiva quando #x> 3,5 #. Da mesma forma, pode ser provado que é negativo quando #x <3,5 # Portanto, há função #f (x) # tem um mínimo de # x = 3,5 #, o que significa que a distância é a menor em # x = 3,5 # A coordenada y de # y = x ^ (1/2) # é:

# y = 3.5 ^ (1/2) = sqrt (3.5) = 1.871 #

Finalmente, o ponto em que a menor distância de (4,0) é observada é:

#(3.5,1.871)#