A água está derramando em uma tigela cilíndrica de altura de 10 pés e raio de 3 pés, a uma taxa de 5 "ft" ^ 3 / "min". Em que taxa o nível da água sobe?

Responda:

# = (5) / (9 pi) # pés / minuto

Explicação:

Para uma determinada altura, # h #, de fluido no cilindro ou raio # r #, o volume é

#V = pi r ^ 2 h #

Diferenciando o tempo de wrt

#dot V = 2 pi r ponto r h + pi r ^ 2 ponto h # mas #dot r = 0 # assim

#dot V = pi r ^ 2 ponto h #

# ponto h = ponto V / (pi r ^ 2) #

# = (5) / (pi (3 ^ 2)) #

# = (5) / (9 pi) # pés / minuto

A água está vazando de um tanque cônico invertido a uma taxa de 10.000 cm3 / min ao mesmo tempo em que a água é bombeada para o tanque a uma taxa constante Se o tanque tiver uma altura de 6m e o diâmetro na parte superior é de 4m se o nível da água estiver subindo a uma velocidade de 20 cm / min quando a altura da água é de 2m, como você encontra a taxa na qual a água está sendo bombeada para o tanque?

Seja V o volume de água no tanque, em cm ^ 3; seja h a profundidade / altura da água, em cm; e seja r o raio da superfície da água (no topo), em cm. Como o tanque é um cone invertido, o mesmo acontece com a massa de água. Uma vez que o tanque tem uma altura de 6 me um raio no topo de 2 m, triângulos semelhantes implicam que frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 de modo que h = 3r. O volume do cone invertido de água é então V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Agora diferencie ambos os lados em relação ao tempo t (em minutos) para obter frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {

Qual é a taxa de variação da largura (em ft / s) quando a altura é de 10 pés, se a altura estiver diminuindo nesse momento a uma taxa de 1 pé / seg.Um retângulo tem uma altura variável e uma largura variável , mas a altura e a largura mudam para que a área do retângulo seja sempre de 60 pés quadrados?

A taxa de variação da largura com o tempo (dW) / (dt) = 0,6 "ft / s" (dW) / (dt) = (dW) / (dh) xx (dh) / dt (dh) / (dt ) = - 1 "ft / s" Assim (dW) / (dt) = (dW) / (dh) xx-1 = - (dW) / (dh) Wxxh = 60 W = 60 / h (dW) / ( dh) = - (60) / (h ^ 2) Então (dW) / (dt) = - (- (60) / (h ^ 2)) = (60) / (h ^ 2) Então quando h = 10 : rArr (dW) / (dt) = (60) / (10 ^ 2) = 0,6 "ft / s"

O nível de água em uma tigela hemisférica de raio de 12 polegadas é de 4,6 polegadas. Que ângulo você pode inclinar a tigela antes que a água comece a derramar?

Você pode inclinar a tigela em 38,1 ° antes de a água cair. Na imagem acima, você pode ver a tigela com água como uma prova do problema e uma hipotética tigela inclinada com a água alcançando a borda da tigela. Os dois centros de hemisférios são sobrepostos e os dois diâmetros formam um ângulo a. O mesmo ângulo é encontrado no triângulo retângulo formado com: -o segmento do centro do hemisfério até o centro da superfície da água (12-4,6 = 7,4 polegadas) -o segmento do centro do hemisfério até a borda da superfí