Pergunta # f3eb0

Responda:

#c = 2/3 #

Explicação:

Para #f (x) # ser contínuo a #x = 2 #, o seguinte deve ser verdadeiro:

• #lim_ (x-> 2) f (x) # existe.
• #f (2) # existe (isso não é um problema aqui desde #f (x) # está claramente definido em #x = 2 #

Vamos investigar o primeiro postulado. Sabemos que, para um limite existir, os limites da mão esquerda e direita devem ser iguais. Matematicamente:

#lim_ (x-> 2 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 2 ^ +) f (x) #

Isso também mostra por que estamos interessados apenas em #x = 2 #: É o único valor de # x # para o qual essa função é definida como coisas diferentes à direita e à esquerda, o que significa que há uma chance de os limites esquerdo e direito não serem iguais.

Estaremos tentando encontrar valores de 'c' para os quais esses limites são iguais.

Voltando à função por partes, vemos que à esquerda de #2#, #f (x) = cx ^ 2 + 2x #. Alternativamente, à direita de #x = 2 #, nós vemos que #f (x) = x ^ 3-cx #

Assim:

#lim_ (x-> 2) cx ^ 2 + 2x = lim_ (x-> 2) x ^ 3 - cx #

Avaliando os limites:

# (2) ^ 2c + 2 (2) = (2) ^ 3 - (2) c #

# => 4c + 4 = 8 - 2c #

A partir daqui, é apenas uma questão de resolver # c #:

# 6c = 4 #

#c = 2/3 #

O que nós encontramos? Bem, nós descobrimos um valor para # c # Isso fará com que esta função seja contínua em todos os lugares. Qualquer outro valor de # c # e os limites direito e esquerdo não se igualarão e a função não será contínua em todos os lugares.

Para obter uma ideia visual de como isso funciona, confira este gráfico interativo que fiz. Escolha valores diferentes de # c #e ver como a função deixa de ser contínua em #x = 2 #!

Espero que tenha ajudado:)