Qual é a raiz quadrada de 67?

Responda:

#67# é um primo e não pode ser fatorado ……

Explicação:

……… e assim #67^(1/2)# #=# # + - sqrt67 #.

Responda:

#sqrt (67) ~~ 34313/4192 ~~ 8.185353 #

Explicação:

#67# é um número primo, portanto, em particular, não tem fatores quadrados. Portanto, sua raiz quadrada é irracional e não simplificável.

Existem vários métodos que você pode usar para encontrar aproximações racionais.

Aqui está um método baseado no método babilônico …

Para encontrar a raiz quadrada de um número # n #, escolha uma aproximação inicial # p_0 / q_0 # Onde # p_0, q_0 # são inteiros.

Em seguida, aplique as seguintes fórmulas repetidamente para obter melhores aproximações:

# {(p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2), (q_ (i + 1) = 2 p_i q_i):} #

Em nosso exemplo, vamos #n = 67 #, # p_0 = 8 # e # q_0 = 1 #, Desde a #8^2 = 64# está bem perto #67#. Então:

# {(p_1 = p_0 ^ 2 + nq_0 ^ 2 = 8 ^ 2 + 67 * 1 ^ 2 = 64 + 67 = 131), (q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 8 * 1 = 16):} #

# {(p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 131 ^ 2 + 67 * 16 ^ 2 = 17161 + 17152 = 34313), (q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 131 * 16 = 4192):} #

Se pararmos aqui, temos:

#sqrt (67) ~~ 34313/4192 ~~ 8.185353 #

o que é preciso para #6# casas decimais.