X (P (x) Q (x)) xP (x) xQ (x) x (P (x) Q (x)) xP (x) xQ (x ). Por favor me ajude com a primeira declaração?

Para entender essas afirmações, primeiro precisamos entender a notação que está sendo usada.

• # AA # - para todos - Este símbolo implica que algo é válido para todos os exemplos dentro de um conjunto. Então, quando adicionamos uma variável # x #, # AAx # significa que alguma declaração se aplica a todo valor ou item possível que poderíamos substituir por # x #.

• #P (x), Q (x) # - proposição - Estas são proposições lógicas sobre # x #, isto é, eles representam declarações sobre # x # que são verdadeiras ou falsas para qualquer # x #.

• # # - e - Este símbolo permite a combinação de múltiplas proposições. O resultado combinado é verdadeiro quando ambas as proposições retornam verdadeiro e falso de outra forma.

• # # - ou - Este símbolo também permite a combinação de múltiplas proposições. O resultado combinado é falso quando ambas as proposições retornam falso e verdadeiro caso contrário.

• # # - se e apenas se - Este símbolo também permite a combinação de múltiplas proposições. O resultado combinado é verdadeiro quando ambas as proposições retornam o mesmo valor de verdade para todos # x #e falso em contrário.

Com isso, podemos agora traduzir as declarações. A primeira afirmação, diretamente formulada, soaria como "Para todo x, P de xe Q de x se e somente se para todo x, P de x e para todo x, Q de x".

Algumas pequenas adições e modificações tornam isso um pouco mais compreensível.

"Para todo x, P e Q são verdadeiros para x se e somente se P for verdadeiro para todo x e Q for verdadeiro para todo x."

Esta afirmação é uma tautologia, isto é, é verdade independente do que substituímos por P ou Q. Podemos mostrar isso demonstrando que a proposição anterior a implica a seguinte, e vice-versa.

A partir da declaração anterior, temos que para cada # x #, #P (x) Q (x) # é verdade. Pela nossa definição acima, isso significa que para cada # x #, #P (x) # é verdade e #Q (x) # é verdade. Isto implica que para qualquer # x #, #P (x) # é verdade e para qualquer # x #, #Q (x) # é verdade, que é a declaração que aparece após o.

Se começarmos a partir da declaração que aparece depois do, então sabemos que para qualquer # x #, #P (x) # é verdade e para qualquer # x #, #Q (x) # é verdade. Então para todos # x #, #P (x) # e #Q (x) # são ambos verdadeiros, significando para todos # x #, #P (x) Q (x) # é verdade. Isso prova que a primeira afirmação é sempre verdadeira.

A segunda afirmação é falsa. Sem passar pelo processo completo como acima, podemos simplesmente mostrar que as duas proposições de cada lado do nem sempre têm o mesmo valor de verdade. Por exemplo, suponha que pela metade de todos os possíveis # x #, #P (x) # é verdade e #Q (x) # é falso, e para a outra metade, #Q (x) # é verdade e #P (x) # é falso.

Neste caso, como para todos # x #, ou #P (x) # ou #Q (x) # é verdade, a proposição #AAx (P (x) Q (x)) # é verdade (veja as descrições de acima). Mas, porque existem valores para # x # para qual #P (x) # é falsa, a proposição #AAxP (x) # é falso. Similarmente, #AAxQ (x) # também é falso, significando #AAxP (x) AAxQ (x) # é falso.

Como as duas proposições têm diferentes valores de verdade, claramente a verdade de um não garante a verdade do outro, e, portanto, juntá-los a resulta em uma nova proposição que é falsa.