Qual é a equação da parábola com um foco em (-15, -19) e uma diretriz de y = -8?

Responda:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

Explicação:

Como a diretriz é uma linha horizontal, sabemos que a parábola é orientada verticalmente (abre para cima ou para baixo). Como a coordenada y do foco (-19) abaixo da diretriz (-8), sabemos que a parábola se abre. A forma do vértice da equação para este tipo de parábola é:

#y = 1 / (4f) (x - h) ^ 2 + k "1" #

Onde h é a coordenada x do vértice, k é o y coordenado do vértice e a distância focal, f, é a metade da distância assinada da diretriz para o foco:

#f = (y _ ("focus") - y _ ("diretriz")) / 2 #

#f = (-19 - -8) / 2 #

#f = -11 / 2 #

A coordenada y do vértice, k, é f mais a coordenada y da diretriz:

# k = f + y _ ("directrix") #

#k = -11 / 2 + -8 #

#k = (-27) / 2 #

A coordenada x do vértice, h, é a mesma que a coordenada x do foco:

#h = -15 #

Substituindo esses valores na equação 1:

#y = 1 / (4 (-11/2)) (x - -15) ^ 2 + (-27) / 2 #

Simplificando um pouco:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

Responda:

# x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

Explicação:

Parábola é o locus de um ponto, que se move de modo que sua distância de uma linha, chamada directix, e um ponto, chamado foco, são iguais.

Sabemos que a distância entre dois pontos # (x_1, y_1) # e # x_2, y_2) # É dado por #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # e

a distância entre o ponto # (x_1, y_1) # e linha # ax + por + c = 0 # é # | ax_1 + by_1 + c | / (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Agora a distância de um ponto # (x, y) # na parábola do foco em #(-15,-19)# é #sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) #

e sua distância da directrix # y = -8 # ou # y + 8 = 0 # é # | y + 8 | / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) = | y + 8 | #

Assim, a equação da parábola seria

#sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) = | y + 8 | # ou

# (x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2 = (y + 8) ^ 2 # ou

# x ^ 2 + 30x + 225 + y ^ 2 + 38y + 361 = y ^ 2 + 16a + 64 # ou

# x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

gráfico {x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 -56,5, 23,5, -35,28, 4,72}