Qual é o maior cilindro de raio, re altura h que pode caber na esfera do raio, R?

Responda:

O volume máximo do cilindro é encontrado se escolhermos

# r = sqrt (2/3) R #e #h = (2R) / sqrt (3) #

Esta escolha leva a um volume máximo do cilindro de:

# V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Explicação:

``

Imagine uma seção transversal através do centro do cilindro e deixe o cilindro ter altura # h #e volume # V #, então nós temos;

# h # e # r # pode ser variado e # R # é uma constante. O volume do cilindro é dado pela fórmula padrão:

# V = pir ^ 2h #

O raio da esfera, # R # é a hipotenusa do triângulo com lados # r # e # 1 / 2h #Assim, usando Pitágoras, temos:

# R ^ 2 = r ^ 2 + (1 / 2h) ^ 2 #

#:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 #

Podemos substituir isso em nossa equação de volume para obter:

# V = pir ^ 2h #

#:. V = pi (R ^ 2-1 / 4h ^ 2) h #

#:. V = pi R ^ 2h-1 / 4pih ^ 3 #

Agora temos o volume # V # em função de uma única variável # h #, que procuramos maximizar # h # tão diferenciadora # h # dá:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

No mínimo ou no máximo, # (dV) / (dh) = 0 # assim:

# pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 = 0 #

#:. 3 / 4h ^ 2 = R ^ 2 #

#:. h ^ 2 = 4/3 R ^ 2 #

#:. h = sqrt (4/3 R ^ 2) "" # (obviamente nós queremos te + ve root)

#:. h = (2R) / sqrt (3) #

Com este valor de # h # Nós temos:

# r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4 4/3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-http: // 3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 2 / 3R ^ 2 #

#:. r = sqrt (2/3) R #

Devemos verificar se esse valor leva a um volume máximo (e não máximo). Fazemos isso observando a segunda derivada:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

#:. (d ^ 2V) / (dh ^ 2) = -6 / 4pih #

E como #h> 0 # concluimos que # (d ^ 2V) / (dh ^ 2) <0 # e que o ponto crítico identificado leva a um máximo como desejado.

Assim, o volume máximo do cilindro é encontrado se escolhermos

# r = sqrt (2/3) R #e #h = (2R) / sqrt (3) #

Com esta escolha, obtemos o volume máximo como;

# V = pi R ^ 2 ((2R) / sqrt (3)) -1 / 4pi ((2R) / sqrt (3)) ^ 3 #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - 1 / 4pi ((8R ^ 3) / (3sqrt (3))) #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - (2piR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

#:. V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

E obviamente o volume da Esfera é dado por:

#V_s = 4 / 3piR ^ 3 #

Este é um problema muito famoso, que foi estudado por matemáticos gregos muito antes do cálculo ser descoberto. Uma propriedade interessante é a relação entre o volume do cilindro e o volume da esfera:

# V / V_s = ((4piR ^ 3) / (3sqrt (3))) / (4 / 3piR ^ 3) = 1 / sqrt (3) #

Em outras palavras, a proporção dos volumes é completamente independente # R #, # r # ou # h # o que é um resultado surpreendente!