Qual é a projeção de <0, 1, 3> para <0, 4, 4>?

Responda:

A projeção vetorial é #< 0,2,2 >#, a projeção escalar é # 2sqrt2 #. Ver abaixo.

Explicação:

Dado # veca = <0,1,3> # e # vecb = <0,4,4> #podemos encontrar #proj_ (vecb) veca #, a vetor projeção de # veca # para # vecb # usando a seguinte fórmula:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Ou seja, o produto escalar dos dois vetores dividido pela magnitude do # vecb #, multiplicado por # vecb # dividido por sua magnitude. A segunda quantidade é uma quantidade vetorial, pois dividimos um vetor por um escalar. Note que nós dividimos # vecb # pela sua magnitude, a fim de obter um vetor unitário (vetor com magnitude de #1#). Você pode notar que a primeira quantidade é escalar, já que sabemos que quando pegamos o produto escalar de dois vetores, o resultante é um escalar.

Portanto, o escalar projeção de #uma# para # b # é #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #também escrito # | proj_ (vecb) veca | #.

Podemos começar pegando o produto escalar dos dois vetores:

# veca * vecb = <0,1,3> * <0,4,4> #

#=> (0*0)+(4*1)+(4*3)#

#=>0+4+12=16#

Então podemos encontrar a magnitude de # vecb # tomando a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada um dos componentes.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | vecb | = sqrt ((0) ^ 2 + (4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => sqrt (0 + 16 + 16) = sqrt (32) #

E agora temos tudo o que precisamos para encontrar a projeção vetorial de # veca # para # vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (16) / sqrt (32) * (<0,4,4>) / sqrt (32) #

#=>(16 < 0,4,4 >)/32#

#=>(< 0,4,4 >)/2#

#=>< 0,2,2 >#

A projeção escalar de # veca # para # vecb # é apenas a primeira metade da fórmula, onde #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. Portanto, a projeção escalar é # 16 / sqrt (32) #, o que simplifica ainda mais a # 2sqrt2 #. Eu mostrei a simplificação abaixo.

# 16 / sqrt (32) #

# => 16 / sqrt (16 * 2) #

# => 16 / (4 * sqrt2) #

# => 4 / sqrt2 #

# => (4 * sqrt2) / (sqrt2 * sqrt2) #

# => (4sqrt2) / 2 #

# => 2sqrt2 #

Espero que ajude!