Como você usa a fórmula binomial para expandir [x + (y + 1)] ^ 3?

Responda:

# x ^ 3 + y ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + 3x ^ 2 + 3y ^ 2 + 6xy + 3x + 3y + 1 #

Esse binômio tem a forma # (a + b) ^ 3 #

Nós expandimos o binômio aplicando esta propriedade:

# (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #.

Onde no dado binômio # a = x # e # b = y + 1 #

Nós temos:

# x + (y + 1) ^ 3 = #

# x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y + 1) ^ 2 + (y + 1) ^ 3 # observe como (1)

Na expansão acima, ainda temos dois binômios para expandir

# (y + 1) ^ 3 # e # (y + 1) ^ 2 #

Para # (y + 1) ^ 3 # temos que usar a propriedade cubada acima

assim # (y + 1) ^ 3 = y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1 #. Observe como (2)

Para # (y + 1) ^ 2 # temos que usar o quadrado da soma que diz:

# (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

assim # (y + 1) ^ 2 = y ^ 2 + 2y + 1 #. Observe como (3)

Substituindo (2) e (3) na equação (1), temos:

# x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y + 1) ^ 2 + (y + 1) ^ 3 #

# = x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y ^ 2 + 2y + 1) + (y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1) #

# = x ^ 3 + 3x ^ 2y + 3x ^ 2 + 3xy ^ 2 + 6xy + 3x + y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1 #

Temos que adicionar os termos semelhantes, mas neste polinômio não temos termos semelhantes, podemos organizar os termos.

Portanto, # x + (y + 1) ^ 3 = x ^ 3 + y ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + 3x ^ 2 + 3y ^ 2 + 6xy + 3x + 3y + 1 #