O que é phi, como foi descoberto e quais são seus usos?

O que é phi, como foi descoberto e quais são seus usos?
Anonim

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Alguns pensamentos …

Explicação:

#phi = 1/2 + sqrt (5) / 2 ~~ 1.6180339887 # é conhecido como a proporção áurea.

Foi conhecido e estudado por Euclides (aproximadamente no 3º ou 4º século aC), basicamente para muitas propriedades geométricas …

Tem muitas propriedades interessantes, das quais aqui estão alguns …

A seqüência de Fibonacci pode ser definida recursivamente como:

# F_0 = 0 #

# F_1 = 1 #

#F_ (n + 2) = F_n + F_ (n + 1) #

Começa:

#0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,…#

A razão entre os termos sucessivos tende a # phi #. Isso é:

#lim_ (n-> oo) F_ (n + 1) / F_n = phi #

De fato, o termo geral da seqüência de Fibonacci é dado pela fórmula:

#F_n = (phi ^ n - (-phi) ^ (- n)) / sqrt (5) #

Um retângulo com lados na proporção #phi: 1 # é chamado de Retângulo Dourado. Se um quadrado de tamanho máximo for removido de uma extremidade de um retângulo dourado, o retângulo restante será um retângulo dourado.

Isso está relacionado tanto à razão limitante da seqüência de Fibonacci quanto ao fato de que:

#phi = 1; bar (1) = 1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + …))))) #

que é a fração continuada padrão de convergência mais lenta.

Se você colocar três retângulos dourados simetricamente perpendiculares entre si no espaço tridimensional, os doze cantos formarão os vértices de um icosaedro comum. Assim, podemos calcular a área de superfície e o volume de um icosaedro regular de raio dado. Veja

Um triângulo isósceles com lados em relação #phi: phi: 1 # tem ângulos de base # (2pi) / 5 # e ângulo de apex # pi / 5 #. Isso nos permite calcular fórmulas algébricas exatas para #sin (pi / 10) #, #cos (pi / 10) # e, finalmente, para qualquer múltiplo de # pi / 60 # (#3^@#). Veja