Como você diferencia y = (cos 7x) ^ x?

Responda:

# dy / dx = (cos (7x)) ^ x * (ln (cos (7x)) - 7x (tan (7x)))

Explicação:

Isso é desagradável.

#y = (cos (7x)) ^ x #

Comece pegando o logaritmo natural de cada lado e traga o expoente # x # para baixo para ser o coeficiente do lado direito:

#rArr lny = xln (cos (7x)) #

Agora diferencie cada lado em relação a # x #, usando a regra do produto no lado direito. Lembre-se da regra da diferenciação implícita: # d / dx (f (y)) = f '(y) * dy / dx #

#: 1 / y * d / dx = d / dx (x) * ln (cos (7x)) + d / dx (ln (cos (7x))) * x #

Usando a regra da cadeia para funções de logaritmo natural - # d / dx (ln (f (x))) = (f '(x)) / f (x) # - podemos diferenciar o #ln (cos (7x)) #

# d / dx (ln (cos (7x))) = -7sin (7x) / cos (7x) = -7tan (7x) #

Voltando à equação original:

# 1 / y * dy / dx = ln (cos (7x)) - 7xtan (7x) #

Agora podemos substituir o original # y # como a função de # x # valor a partir do início de volta, de modo a remover o errante # y # do lado esquerdo. Multiplicando ambos os lados por # y #:

# dy / dx = (cos (7x)) ^ x * (ln (cos (7x)) - 7x (tan (7x)))