Qual é a raiz quadrada de 89?

Responda:

A raiz quadrada de #89# é um número que quando ao quadrado dá #89#.

#sqrt (89) ~~ 9.434 #

Explicação:

Desde a #89# é primo #sqrt (89) # não pode ser simplificado.

Você pode aproximar usando um método de Newton Raphson.

Eu gosto de reformulá-lo um pouco como segue:

Deixei #n = 89 # seja o número que você quer a raiz quadrada de.

Escolher # p_0 = 19 #, # q_0 = 2 # de modo a # p_0 / q_0 # é uma aproximação racional razoável. Eu escolhi esses valores particulares desde #89# está a meio caminho entre #9^2 = 81# e #10^2 = 100#.

Iterar usando as fórmulas:

#p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2 #

#q_ (i + 1) = 2 p_i q_i #

Isto dará uma melhor aproximação racional.

Assim:

# p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 19 ^ 2 + 89 * 2 ^ 2 = 361 + 356 = 717 #

# q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76 #

Então, se parássemos aqui, teríamos uma aproximação:

#sqrt (89) ~~ 717/76 ~~ 9.434 #

Vamos mais um passo:

# p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 717 ^ 2 + 89 * 76 ^ 2 = 514089 + 514064 = 1028153 #

# q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984 #

Então nós temos uma aproximação:

#sqrt (89) ~~ 1028153/108984 ~~ 9.43398113 #

Este método de Newton Raphson converge rapidamente.

#cor branca)()#

Na verdade, uma aproximação simples bastante boa para #sqrt (89) # é #500/53#, Desde a #500^2 = 250000# e #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt (89) ~~ 500/53 ~~ 9.43396 #

Se aplicarmos uma etapa de iteração para isso, obteremos uma melhor aproximação:

#sqrt (89) ~~ 500001/53000 ~~ 9.4339811321 #

#cor branca)()#

Nota de rodapé

Todas as raízes quadradas de inteiros positivos repetem expansões de frações continuadas, que você também pode usar para fornecer aproximações racionais.

No entanto, no caso de #sqrt (89) # a expansão da fração continuada é um pouco confusa, então não é tão bom trabalhar com:

#sqrt (89) = 9; bar (2, 3, 3, 2, 18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (3 + 1 / (3 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (3 + …))))))) #

A aproximação #500/53# acima é #9; 2, 3, 3, 2#