Seja vec (v_1) = [(2), (3)] e vec (v_1) = [(4), (6)] qual é o span do espaço vetorial definido por vec (v_1) e vec (v_1)? Explique sua resposta em detalhes?

Responda:

# "span" ({vecv_1, vecv_2}) = lambdainF #

Explicação:

Normalmente falamos sobre o período de um conjunto de vetores, ao invés de um espaço vetorial inteiro. Continuaremos, então, examinando o período de # {vecv_1, vecv_2} # dentro de um determinado espaço vetorial.

A extensão de um conjunto de vetores em um espaço vetorial é o conjunto de todas as combinações lineares finitas desses vetores. Isto é, dado um subconjunto # S # de um espaço vetorial sobre um campo # F #, temos

# "span" (S) = ninNN, s_iinS, lambda_iinF #

(o conjunto de qualquer soma finita com cada termo sendo o produto de um escalar e um elemento de # S #)

Por simplicidade, vamos supor que o nosso espaço vetorial é sobre algum subcampo # F # do # CC #. Então, aplicando a definição acima:

# "span" ({vecv_1, vecv_2}) = lambda_iinF #

# = lambda_1vecv_1 + lambda_2vecv_2 #

Mas note que # vecv_2 = 2vecv_1 #e assim por qualquer # lambda_1, lambda_2inF #,

# lambda_1vecv_1 + lambda_2vecv_2 = lambda_1vecv_1 + lambda_2 (2vecv_1) = (lambda_1 + 2lambda_2) vecv_1 #

Então, como qualquer combinação linear de # vecv_1 # e # vecv_2 # pode ser expresso como um múltiplo escalar de # vecv_1 #, e qualquer múltiplo escalar de # vecv_1 # pode ser expresso como uma combinação linear de # vecv_1 # e # vecv_2 # definindo # lambda_2 = 0 #, temos

# "span" ({vecv_1, vecv_2}) = lambdavecv_1 #