Qual é a raiz quadrada de 5?

A raiz quadrada de #5# não pode ser pai simplificado do que já é, então aqui está # sqrt5 # a dez casas decimais:

# sqrt5 ~~ 2.2360679775 … #

Responda:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) ~ ~ 2889/1292 ~~ 2.236068 # é um número irracional.

Explicação:

Todos os números positivos normalmente têm duas raízes quadradas, uma positiva e uma negativa do mesmo tamanho. Denotamos a raiz quadrada positiva (a.k.a.) # n # por #sqrt (n) #.

Uma raiz quadrada de um número # n # é um número # x # de tal modo que # x ^ 2 = n #. Então se # x ^ 2 = n # então também # (- x) ^ 2 = n #.

No entanto, o uso popular é que "a raiz quadrada" se refere ao positivo.

Suponha que tenhamos um número positivo # x # que satisfaz:

#x = 2 + 1 / (2 + x) #

Então multiplicando ambos os lados por # (2 + x) # Nós temos:

# x ^ 2 + 2x = 2x + 5 #

Então subtraindo # 2x # de ambos os lados nós temos:

# x ^ 2 = 5 #

Então nós encontramos:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (2 + sqrt (5)) #

#color (branco) (sqrt (5)) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) #

Uma vez que esta fração continuada não termina, podemos dizer que #sqrt (5) # não pode ser representado como uma fração de terminação - ou seja, um número racional. assim #sqrt (5) # é um número irracional um pouco menor que #2 1/4 = 9/4#. Para melhores aproximações racionais, você pode terminar a fração continuada depois de mais termos.

Por exemplo:

#sqrt (5) ~~ 2 + 1 / (4 + 1/4) = 2 + 4/17 = 38/17 ~~ 2.235 #

Desembalar essas frações contínuas pode ser um pouco entediante, então eu geralmente prefiro usar um método diferente, ou seja, a taxa de limitação de uma sequência inteira definida recursivamente.

Defina uma sequência por:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 4a_ (n + 1) + a_n):} #

Os primeiros termos são:

#0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473#

A razão entre os termos tenderá a # 2 + sqrt (5) #.

Então nós encontramos:

#sqrt (5) ~~ 5473/1292 - 2 = 2889/1292 ~~ 2.236068 #