Um par de dados justos de seis lados é lançado oito vezes. Encontre a probabilidade de que uma pontuação maior que 7 seja pontuada não mais do que cinco vezes?

Responda:

#~=0.9391#

Explicação:

Antes de entrarmos na questão em si, vamos falar sobre o método para resolvê-lo.

Digamos, por exemplo, que eu queira dar conta de todos os resultados possíveis ao jogar uma moeda justa três vezes. Eu posso obter HHH, TTT, TTH e HHT.

A probabilidade de H é #1/2# e a probabilidade de T também é #1/2#.

Para HHH e para TTT, isto é # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # cada.

Para TTH e HHT, também é # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # cada, mas como há 3 maneiras de obter cada resultado, ele acaba sendo # 3xx1 / 8 = 3/8 # cada.

Quando eu resumir esses resultados, recebo #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - o que significa que agora tenho todos os resultados possíveis do coin flip.

Observe que se eu definir # H # ser estar # p # e, portanto, ter # T # estar # ~ p #, e também observe que temos uma linha do triângulo de Pascal #(1,3,3,1)#nós configuramos uma forma de:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (nk)) #

e assim, neste exemplo, obtemos:

# = C_ (3,0) (1/2) ^ 0 (1/2) ^ 3 + C_ (3,1) (1/2) ^ 1 (1/2) ^ 2 + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ 1 + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #

#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#

#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#

Agora podemos fazer o problema.

Recebemos o número de jogadas como 8, então # n = 8 #.

# p # é a soma maior que 7. Para encontrar a probabilidade de obter uma soma maior que 7, vamos ver os possíveis rolos:

# ((cor (branco) (0), ul1, ul2, ul3, ul4, ul5, ul6), (1 |, 2,3,4,5,6,7), (2 |, 3,4,5, 6,7,8), (3 |, 4,5,6,7,8,9), (4 |, 5,6,7,8,9,10), (5 |, 6,7, 8,9,10,11), (6 |, 7,8,9,10,11,12)) #

Das 36 possibilidades, 15 rolos dão uma soma maior que 36, dando uma probabilidade de #15/36=5/12#.

Com # p = 5/12, ~ p = 7/12 #

Podemos escrever toda a soma de possibilidades - desde que todos os 8 rolos tenham uma soma maior que 7, fazendo com que todos os 8 rolos tenham uma soma de 7 ou menos:

# = C_ (8,0) (5/12) ^ 8 (7/12) ^ 0 + C_ (8,1) (5/12) ^ 7 (7/12) ^ 1 + C_ (8,2) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2 + C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 = 1 #

mas estamos interessados em somar apenas os termos que fazem com que nossa soma maior que 7 aconteça 5 vezes ou menos:

# = C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 #

#~=0.9391#

Responda:

#0.93906#

Explicação:

# "So P resultado> 7 = 15/36 = 5/12" #

#P "ocorre k vezes em 8 lançamentos" = C (8, k) (5/12) ^ k (7/12) ^ (8-k) "#

#"(distribuição binomial)"#

# "com" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! k!) "(combinações)" #

#"Assim, "#

#P "ocorre no máximo 5 vezes em 8 lançamentos" #

# = 1 - P "ocorre 6, 7 ou 8 vezes em 8 lançamentos" #

# = 1-C (8,6) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2-C (8,7) (5/12) ^ 7 (7/12) - (5/12) ^ 8 #

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#

#= 0.93906#