Qual é a equação da linha normal de f (x) = x ^ 3-49x ^ 2 + 7x em x = 7?

Responda:

# y = 1 / 532x-2009.013 #

Explicação:

A linha normal em um ponto é a linha perpendicular à linha tangente naquele ponto. Quando resolvemos problemas desse tipo, encontramos a inclinação da linha tangente usando a derivada, usamos essa para encontrar a inclinação da linha normal e usamos um ponto da função para encontrar a equação normal da linha.

Passo 1: Inclinação da Linha Tangente

Tudo o que fazemos aqui é pegar a derivada da função e avaliá-la # x = 7 #:

#y '= 3x ^ 2-98x + 7 #

#y '(7) = 3 (7) ^ 2-98 (7) + 7 #

#y '(7) = -532 #

Isso significa a inclinação da linha tangente em # x = 7 # é -532.

Etapa 2: inclinação da linha normal

A inclinação da linha normal é simplesmente o inverso oposto da inclinação da linha tangente (porque esses dois são perpendiculares). Então, nós simplesmente invertemos -532 e torná-lo positivo para obter #1/532# como a inclinação da linha normal.

Etapa Final: Encontrando a Equação

Equações de linha normal são da forma # y = mx + b #, Onde # y # e # x # são pontos na linha, # m # é a inclinação e # b # é o # y #-interceptar. Nós temos a inclinação # m #, que é o que encontramos no segundo passo: #1/532#. Os pontos # x # e # y # pode ser facilmente encontrado substituindo # x = 7 # na equação e resolvendo para # y #:

# y = (7) ^ 3-49 (7) ^ 2 + 7 (7) #

#y = -2009 #

Agora podemos usar toda essa informação para encontrar # b #, a # y #-interceptar:

# y = mx + b #

# -2009 = (1/532) (7) + b #

# -2009 = 7/532 + b #

# -2009-7 / 532 = b #

Podemos aproximar isso para -2009.013, ou se realmente quiséssemos, poderíamos aproximá-lo também -2009.

A equação da linha normal é assim # y = 1 / 532x-2009.013 #.