Como você diferencia y = (2 + sinx) / (x + cosx)?

Responda:

dy / dx = # (xcos (x) + sin (x) - 1) / (x + cos (x)) ^ 2 #

Explicação:

# "Primeiro, vamos nos lembrar da regra do quociente:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad f (x) / g (x) ^ ' = {g (x) f' (x) - f (x) g '(x)} / { g (x) ^ 2} quad. #

# "Nos é dada a função de diferenciar:" #

qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad { + sinx} / {x + cosx} quad

Use a regra de quociente para obter o seguinte:

y '= # {(x + cosx) (2 + sinx) ' - (2 + sinx) (x + cosx)'} / (x + cosx) ^ 2 #

y '= # {(x + cosx) (cosx) - (2 + sinx) (1 -sinx)} / (x + cos x) ^ 2 #

multiplicando o numerador, você recebe isto:

y '= # {xcosx + cos ^ 2x - (2 - 2 sinx + sinx - sin ^ 2x)} / (x + cos) ^ 2 #

# quad # = # {xcosx + cos ^ 2x - (2 - sinx - sin ^ 2x)} / (x + cos) ^ 2 #

# quad # = # {xcosx + cos ^ 2x - 2 + senx + sin ^ 2x} / (x + cos) ^ 2 #

# quad # = # {xcosx + sinx - 2 + (sen ^ 2x + cos ^ 2x)} / (x + cosx) ^ 2 #

então a única simplificação que você pode usar é a identidade trigonométrica

# sin ^ 2 + cos ^ 2 = 1 #

para obter:

y '= # {xcosx + sinx - 2 + 1} / (x + cosx) ^ 2 #

y '= # (xcos (x) + sin (x) - 1) / (x + cos (x)) ^ 2 #