Responda:
Converge para # 1 + i # (na minha calculadora gráfica Ti-83)
Explicação:
Deixei # S = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}}
Primeiro, supondo que esta série infinita converge (isto é, supondo que S exista e tome o valor de um número complexo), # S ^ 2 = -2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# S ^ 2 + 2 = 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = S #
E se você resolver por S:
# S ^ 2 + 2 = 2S, S ^ 2 - 2S + 2 = 0 #
e aplicando a fórmula quadrática que você obtém:
# S = frac {2 pm sqrt {4-8}} {2} = frac {2 pm sqrt {-4}} {2} = frac {2 pm 2i} {2} = 1 pm i #
Normalmente, a função raiz quadrada recebe o valor positivo # S = 1 + i #
Assim, se converge, então deve convergir para # 1 + i #
Agora tudo que você tem a fazer é provar que converge ou se você é preguiçoso como eu, então você pode ligar # sqrt {-2} # em uma calculadora que pode manipular números imaginários e usar a relação de recorrência:
# f (1) = sqrt {-2} #
# f (n + 1) = sqrt {-2 + 2 sqrt {f (n)} #
Eu repeti isso muitas vezes no meu Ti-83 e descobri que ele se aproxima, por exemplo, depois que eu o repeti em algo como 20 vezes.
# 1.000694478 + 1.001394137i #
muito boa aproximação
