Uma partícula é lançada sobre um triângulo a partir de uma extremidade de uma base horizontal e o contato com o vértice cai na outra extremidade da base. Se alfa e beta são os ângulos de base e theta é o ângulo de projeção, Prove que tan teta = tan alpha + tan beta?

Dado que uma partícula é lançada com ângulo de projeção # theta # sobre um triângulo # DeltaACB # de um dos seus fins #UMA# da base horizontal # AB # alinhado ao longo do eixo X e, finalmente, cai no outro extremo # B #da base, pastando o vértice #C (x, y) #

Deixei #você# seja a velocidade da projeção, # T # seja a hora do voo # R = AB # ser o alcance horizontal e # t # o tempo que a partícula leva para atingir C # (x, y) #

O componente horizontal da velocidade de projeção # -> ucostheta #

O componente vertical da velocidade de projeção # -> usintheta #

Considerando o movimento sob gravidade sem resistência do ar, podemos escrever

# y = usinthetat-1/2 g t ^ 2 ….. 1 #

# x = ucosthetat ………………. 2 #

combinando 1 e 2 obtemos

# y = usinthetaxxx / (ucostheta) -1/2 xxgxxx ^ 2 / (u ^ 2cos ^ 2teta) #

# => y = usinthetaxxx / (ucostheta) -1/2 xxgxxx ^ 2 / u ^ 2xxsec ^ 2teta #

# => cor (azul) (y / x = tantheta - ((gsec ^ 2theta) / (2u ^ 2)) x …….. 3) #

Agora, durante o tempo de voo # T # o deslocamento vertical é zero

assim

# 0 = usinthetaT-1/2 g T ^ 2 #

# => T = (2usintheta) / g #

Daí o deslocamento horizontal durante o tempo de voo, isto é, a gama é dada por

# R = ucosthetaxxT = ucosthetaxx (2usintheta) / g = (u ^ 2sin2theta) / g #

# => R = (2u ^ 2tantheta) / (g (1 + tan ^ 2theta)) #

# => R = (2u ^ 2tantheta) / (gsec ^ 2theta) #

# => cor (azul) ((gsec ^ 2theta) / (2u ^ 2) = tantheta / R …… 4) #

Combinando 3 e 4 obtemos

# y / x = tantheta-1/2 xx (gx) / u ^ 2xxseg ^ 2teta #

# => y / x = tantheta- (xtantheta) / R #

# => tanalpha = tantheta- (xtantheta) / R # Desde a #color (vermelho) (y / x = tanalpha) # da figura

assim # tantheta = tanalphaxx (R / (R-x)) #

# => tantheta = tanalphaxx ((R-x + x) / (R-x)) #

# => tantheta = tanalphaxx (1 + x / (R-x)) #

# => tantheta = tanalfa + (xtanalpha) / (R-x) #

# => tantheta = tanalpha + y / (R-x) # colocando #color (vermelho) (xtanalpha = y) #

Finalmente nós temos da figura #color (magenta) (y / (R-x) = tanbeta) #

Assim, obtemos nossa relação necessária

#color (verde) (tantheta = tanalfa + tanbeta) #