Qual é a equação da linha que é normal para a curva polar f (teta) = - quinta-sin ((3theta) / 2-pi / 3) + tan ((teta) / 2-pi / 3) em teta = pi?

Responda:

A linha é #y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #

Explicação:

Este gigante de uma equação é derivado através de um processo um pouco demorado. Primeiro descreverei as etapas pelas quais a derivação prosseguirá e, em seguida, executarei essas etapas.

Nos é dada uma função em coordenadas polares, #f (theta) #. Nós podemos pegar a derivada, #f '(teta) #, mas a fim de realmente encontrar uma linha em coordenadas cartesianas, vamos precisar # dy / dx #.

Podemos encontrar # dy / dx # usando a seguinte equação:

# dy / dx = (f '(teta) sen (teta) + f (teta) cos (teta)) / (f' (teta) cos (teta) - f (teta) sin (teta)) #

Em seguida, vamos incluir esse declive no formulário de linha cartesiana padrão:

#y = mx + b #

E insira as coordenadas polares convertidas cartesianas de nosso ponto de interesse:

#x = f (theta) cos (teta) #

#y = f (teta) sin (teta) #

Algumas coisas que devem ser imediatamente óbvias e nos pouparão tempo. Estamos tomando uma linha tangente ao ponto #theta = pi #. Isso significa que #sin (theta) = 0 # assim…

1) Nossa equação para # dy / dx # será realmente:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

2) Nossas equações para as coordenadas cartesianas de nosso ponto se tornarão:

#x = -f (teta) #

#y = 0 #

Começando a realmente resolver o problema, nossa primeira ordem de negócio é encontrar #f '(teta) #. Não é difícil, apenas três derivadas fáceis com regra de cadeia aplicada a dois:

#f '(teta) = -5 - 3/2 cos ((3pi) / 2 - pi / 3) + 1/2 seg ^ 2 (teta / 2 - pi / 3) #

Agora queremos saber #f (pi) #:

#f (pi) = -5pi - sin ((7pi) / 6) + tan (pi / 6) #

# = -5pi - 1/2 + 1 / sqrt3 #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) #

E #f '(pi) #…

#f '(pi) = -5 - 3/2 cos ((7pi) / 6) + 1/2 seg ^ 2 (pi / 6) #

# = -5 + (3sqrt3) / 4 + 2/3 #

# = (9sqrt3 - 52) / 12 #

Com estes em mãos, estamos prontos para determinar nossa inclinação:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) * 12 / (9sqrt3 - 52) #

# = (6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52) #

Podemos ligar isso como # m # em #y = mx + b #. Lembre-se de que determinamos anteriormente que # y = 0 # e #x = -f (teta) #:

# 0 = - ((6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3)) + b #

# 0 = - ((3 (1-10pi) + 2sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (sqrt3)) + b #

# 0 = - ((sqrt3 (1-10pi) + 2) / (9sqrt3 - 52)) (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) + b #

#b = ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) ^ 2) / (9sqrt3 - 52) #

Nós podemos combinar nosso previamente determinado # m # com o nosso recém-determinado # b # para dar a equação para a linha:

#y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #