Responda:
#3#
Explicação:
Deixei
# x = sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
onde restringimos nossa solução a ser positiva, uma vez que estamos tomando apenas a raiz quadrada positiva, ou seja, #x> = 0 #. Quadrando ambos os lados, temos
# x ^ 2 = 7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
# => x ^ 2-7 = sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
Onde desta vez restringimos o lado esquerdo para ser positivo, uma vez que queremos apenas a raiz quadrada positiva, ou seja, # x ^ 2-7> = 0 # #=># #x> = sqrt (7) ~ = 2.65 #
onde eliminamos a possibilidade de #x <= - sqrt (7) # usando nossa primeira restrição.
Mais uma vez enquadrando ambos os lados, temos
# (x ^ 2-7) ^ 2 #=# 7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …. oo #)
# (x ^ 2-7) ^ 2-7 = -sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …. o #
A expressão nas raízes quadradas repetidas é a expressão original para # x #, assim sendo
# (x ^ 2-7) ^ 2-7 = -x #
ou
# (x ^ 2-7) ^ 2-7 + x = 0 #
As soluções experimentais desta equação são # x = -2 # e # x = + 3 # que resulta na seguinte fatoração
# (x + 2) (x-3) (x ^ 2 + x-7) = 0 #
Usando a fórmula quadrática no terceiro fator # (x ^ 2 + x-7) = 0 # nos dá mais duas raízes:
# (- 1 + -sqrt (29)) / 2 ~ = 2.19 "e" -3.19 #
As quatro raízes do polinômio são, portanto, #-3.19…, -2, 2.19…, # e #3#. Apenas um desses valores satisfaz nossa restrição #x> = sqrt (7) ~ = 2.65 #, assim sendo
# x = 3 #
Responda:
Outra maneira
Explicação:
Eu gosto de discutir uma maneira complicada de ter uma solução de relance sobre o problema de raízes quadradas repetidas como as seguintes
# sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
Onde # r # pertence à seguinte série
#3,7,13,21,31…………#, cujo termo geral é dado por
# m ^ 2-m + 1 # Onde # m epsilon N # e #m> 1 #
TRUQUE
Se 1 é subtraído do número fornecido # m ^ 2-m + 1 # o número resultante se torna # m ^ 2-m # qual é #m (m-1) # e que não é senão o produto de dois números consecutivos e um maior destes dois será a única solução do problema.
quando r = # m ^ 2-m + 1 # o fator de # m ^ 2-m + 1-1 # = # (m-1) m # e m é a resposta
quando r = 3 o fator de (3-1) = 2 = 1,2 e 2 é a resposta
quando r = 7 o fator de (7-1) = 6 = 2,3 e 3 é a resposta
e assim por diante…….
Explicação
Levando
# x = sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
Quadrando ambos os lados
# x ^ 2 = r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
# x ^ 2- r = sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
Novamente esquadrando ambos os lados
# (x ^ 2- r) ^ 2 = r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
# (x ^ 2- r) ^ 2-r = -x #
# (x ^ 2- r) ^ 2-r + x = 0 #
colocando r = # m ^ 2-m + 1 #
# (x ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + x = 0 #
se colocarmos x = m no LHS desta equação, o LHS se torna
LHS =
# (m ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + m #
# = (cancelar (m ^ 2) - cancelar (m ^ 2) + m-1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1-m) #
# = (m-1)) ^ 2- (m-1) ^ 2 = 0 #
a equação é satisfeita.
Daí m é a resposta
vamos colocar
# x = sqrt (7 + sqrt (7- sqrt (7 + sqrt (7-sqrt …. #
Podemos ver facilmente que
#sqrt (7 + sqrt (7-x)) = x #
Então vamos resolver a equação:
# 7 + sqrt (7-x) = x ^ 2 #
#sqrt (7-x) = x ^ 2-7 #
# 7-x = (x ^ 2-7) ^ 2 = x ^ 4-14x ^ 2 + 49 #
# x ^ 4-14x ^ 2 + x + 42 = 0 #
Esta não é uma equação trivial a ser resolvida. Uma das outras pessoas que respondeu a questão referiu a solução 3. Se você tentar, verá que é verdade.
