Pergunta # 059f6

Responda:

#f (x) = sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) (2k) + soma_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sen (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (X- 1) ^ (2k + 1) #

Explicação:

O desenvolvimento de Taylor de uma função # f # a #uma# é #sum_ (i = 1) ^ (oo) f ^ ((n)) (a) / (n!) (xa) ^ n = f (a) + f '(a) (xa) + f ^ ((2)) (a) / (2) (xa) ^ 2 + … #.

Tenha em mente que é uma série de energia, por isso não converge necessariamente para # f # ou até convergem em algum outro lugar # x = a #.

Primeiro precisamos dos derivados de # f # se quisermos tentar escrever uma fórmula real de sua série de Taylor.

Após o cálculo e uma prova de indução, podemos dizer que #AAk em NN: f ^ ((2k)) (x) = (-1) ^ (k + 1) 2kcos (x-1) + (-1) ^ (k) xsina (x-1) # e #f ^ ((2k + 1)) (x) = (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) #.

Então, depois de alguma simplificação grosseira e pequena, parece que a série de Taylor # f # é #sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (x-1) ^ (2k +1) #.