O que o corte de quadrados de uma folha de papel A4 (297 "mm" xx210 "mm") informa sobre o sqrt (2)?

Responda:

Ele ilustra a fração contínua para #sqrt (2) #

#sqrt (2) = 1 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + …))) #

Explicação:

Se você começar com uma folha precisa de A4 (# 297 "mm" xx 210 "mm" #Então, em teoria, você pode cortá-lo #11# quadrados:

• 1 # 210 "mm" xx210 "mm" #
• Dois # 87 "mm" xx87 "mm" #
• Dois # 36 "mm" xx36 "mm" #
• Dois # 15 "mm" xx15 "mm" #
• Dois # 6 "mm" xx6 "mm" #
• Dois # 3 "mm" xx3 "mm" #

Na prática, leva apenas um pequeno erro (digamos # 0.2 "mm" #) para estragar esta dissecação, mas em teoria acabamos com uma demonstração visual que:

#297/210 = 1+1/(2+1/(2+1/(2+1/(2+1/2))))#

As dimensões de uma folha A4 são projetadas para estarem #sqrt (2): 1 # proporção, para o milímetro mais próximo. A vantagem de tal proporção é que, se você cortar uma folha de A4 ao meio, as duas folhas resultantes serão muito semelhantes às originais. O tamanho resultante é A5 para o milímetro mais próximo.

Na verdade, A0 tem área muito próxima # 1 "m" ^ 2 # e os lados em relação o mais próximo possível #sqrt (2) # arredondado para o milímetro mais próximo. Para isso, tem dimensões:

# 1189 "mm" xx 841 "mm" ~~ (1000 * raiz (4) (2)) "mm" xx (1000 / raiz (4) (2)) "mm" #

Então, cada tamanho menor é metade da área do tamanho anterior (arredondado para baixo até o milímetro mais próximo):

• A0 # 841 "mm" xx 1189 "mm" #
• A1 # 594 "mm" xx 841 "mm" #
• A2 # 420 "mm" xx 594 "mm" #
• A3 # 297 "mm" xx 420 "mm" #
• A4 # 210 "mm" xx 297 "mm" #
• A5 # 148 "mm" xx 210 "mm" #
• A6 # 105 "mm" xx 148 "mm" #

etc.

Então A4 tem área muito próxima # 1/16 "m" ^ 2 #

A fração contínua final para #297/210# aponta para a fração continuada não finalizante para #sqrt (2) #…

#sqrt (2) = 1 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + …))))) = 1; bar (2) #