Considere a equação quadrática # x ^ 2 + 4x + 4 = 0 #que, do lado esquerdo, é também um trinômio quadrado perfeito. Factoring para resolver:
# => (x + 2) (x + 2) = 0 #
# => x = -2 e -2 #
Duas soluções idênticas! Lembre-se de que as soluções de uma equação quadrática são os x interceptados na função quadrática correspondente.
Então, as soluções para a equação # x ^ 2 + 5x + 6 = 0 #, por exemplo, será o x intercepta no gráfico de #y = x ^ 2 + 5x + 6 #.
Da mesma forma, as soluções para a equação # x ^ 2 + 4x + 4 = 0 # será o x intercepta no gráfico de #y = x ^ 2 + 4x + 4 #.
Como há realmente apenas uma solução para # x ^ 2 + 4x + 4 = 0 #, o vértice da função #y = x ^ 2 + 4x + 4 # encontra-se no eixo x.
Agora, pense no discriminante de uma equação quadrática. Se você não tem experiência anterior com isso, não se preocupe.
Nós usamos o discriminante, # b ^ 2 - 4ac #, para verificar quantas soluções, e o tipo de solução, uma equação quadrática da forma # ax ^ 2 + bx + c = 0 # pode ter sem resolver a equação.
Quando o discriminante é igual a menos de #0#, a equação terá sem solução. Quando o discriminante é igual a zero, a equação terá exatamente uma solução. Quando o discriminante é igual a qualquer número maior que zero, haverá exatamente duas soluções. Se o número em questão que você obteve como resultado for um quadrado perfeito no último caso, a equação terá duas soluções racionais. Caso contrário, terá duas soluções irracionais.
Eu já mostrei que quando você tem um trinômio quadrado perfeito, você terá duas soluções idênticas, que é igual a uma solução. Assim, podemos definir o discriminante para #0# e resolver para # c #.
Onde #a = 1, b = 14 e c =? #:
# b ^ 2 - 4ac = 0 #
# 14 ^ 2 - 4 xx 1 xx c = 0 #
# 196 - 4c = 0 #
# 4c = 196 #
#c = 49 #
Assim, o trinômio quadrado perfeito com #a = 1 e b = 14 # é # x ^ 2 + 14x + 49 #. Podemos verificar isso por fatoração.
# x ^ 2 + 14x + 49 = (x + 7) (x + 7) = (x + 7) ^ 2 #
Pratica exercícios:
- Usando o discriminante, determine os valores de #a, b ou c # que tornam os trinômios quadrados perfeitos.
a) # ax ^ 2 - 12x + 4 #
b) # 25x ^ 2 + bx + 64 #
c) # 49x ^ 2 + 14x + c #
Espero que isso ajude e boa sorte!
