Qual é a derivada de (x ^ 2 + x) ^ 2?

Responda:

# y ^ '= 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x #

Explicação:

Você pode diferenciar esta função usando o soma e regras de potência. Observe que você pode reescrever esta função como

#y = (x ^ 2 + x) ^ 2 = x (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 * (x + 1) ^ 2 #

#y = x ^ 2 * (x ^ 2 + 2x + 1) = x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2 #

Agora, a regra da soma informa que, para funções que tomam a forma

#y = sum_ (i = 1) ^ (oo) f_i (x) #

você pode encontrar a derivada de # y # adicionando os derivados dessas funções individuais.

#color (azul) (d / dx (y) = f_1 ^ '(x) + f_2 ^' (x) + … #

No seu caso, você tem

# y ^ '= d / dx (x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2) #

# y ^ '= d / dx (x ^ 4) + d / dx (2x ^ 2) + d / dx (x ^ 2) #

# y ^ '= d / dx (x ^ 4) * 2d / dx (x ^ 3) * d / dx (x ^ 2) #

Para diferenciar essas frações, use a regra de poder

#color (azul) (d / dx (x ^ a) = ax ^ (a-1)) #

Então, seu derivado vai sair para ser

# y ^ '= 4x ^ (4-1) + 2 * 3x ^ (3-1) + 2x ^ (2-1) #

# y ^ '= cor (verde) (4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x) #

alternativamente, você pode usar a regra da cadeia para diferenciar # y #.

#color (azul) (d / dx (y) = d / (du) (y) * d / dx (u)) #

No seu caso, você tem #y = u ^ 2 # e # u = x ^ 2 + x #, para que você obtenha

# dy / (dx) = d / (du) u ^ 2 * d / dx (x ^ 2 + x) #

# dy / dx = 2u * (2x + 1) #

# dy / dx = 2 (x ^ 2 + x) * (2x + 1) #

# dy / dx = (2x ^ 2 + 2x) * (2x + 1) #

# dy / dx = 4x ^ 3 + 2x ^ 2 + 4x ^ 2 + 2x = cor (verde) (4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x) #