Sejam 5a + 12b e 12a + 5b os comprimentos laterais de um triângulo retângulo e 13a + kb seja a hipotenusa, onde a, b e k são inteiros positivos. Como você encontra o menor valor possível de k e os menores valores de aeb para esse k?

Responda:

#k = 10 #, # a = 69 #, # b = 20 #

Explicação:

Pelo teorema de Pitágoras, temos:

# (13a + kb) ^ 2 = (5a + 12b) ^ 2 + (12a + 5b) ^ 2 #

Isso é:

# 169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^ 2 #

#color (branco) (169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2) = 169a ^ 2 + 240ab + 169b ^ 2 #

Subtrair o lado esquerdo das duas extremidades para encontrar:

# 0 = (240-26k) ab + (169-k ^ 2) b ^ 2 #

#color (branco) (0) = b ((240-26k) a + (169-k ^ 2) b) #

Desde a #b> 0 # nós exigimos:

# (240-26k) a + (169-k ^ 2) b = 0 #

Então desde #a, b> 0 # nós exigimos # (240-26k) # e # (169-k ^ 2) # ter sinais opostos.

Quando #k em 1, 9 # ambos # 240-26k # e # 169-k ^ 2 # são positivos.

Quando #k em 10, 12 # nós achamos # 240-26k <0 # e # 169-k ^ 2> 0 # como requerido.

Então, o valor mínimo possível de #k # é #10#.

Então:

# -20a + 69b = 0 #

Então desde #20# e #69# não tem nenhum fator comum maior do que #1#, os valores mínimos de #uma# e # b # está #69# e #20# respectivamente.