Pergunta # f8e6c

Responda:

Expresse-o como uma série geométrica para descobrir que a soma é #12500/3#.

Explicação:

Vamos expressar isso como uma soma:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (1.12) ^ - k #

Desde a #1.12=112/100=28/25#isso é equivalente a:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (28/25) ^ - k #

Usando o fato de que # (a / b) ^ - c = (1 / (a / b)) ^ c = (b / a) ^ c #, temos:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (25/28) ^ k #

Além disso, podemos puxar o #500# fora do sinal de soma, assim:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

Tudo bem, agora o que é isso? Bem, #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k # é o que é conhecido como um Séries geométricas. Séries geométricas envolvem um expoente, que é exatamente o que temos aqui. O mais incrível sobre as séries geométricas como essa é que elas somam # r / (1-r) #, Onde # r # é a proporção comum; ou seja, o número que é aumentado para o expoente. Nesse caso, # r # é #25/28#, Porque #25/28# é o que é levantado para o expoente. (Nota: # r # tem que estar entre #-1# e #1#, ou então a série não soma nada.

Portanto, a soma desta série é:

#(25/28)/(1-25/28)#

#=(25/28)/(3/28)#

#=25/28*28/3=25/3#

Acabamos de descobrir isso #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k = 25/3 #, então a única coisa que resta é multiplicá-lo por #500#:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

#=500*25/3#

#=12500/3~~4166.667#

Você pode descobrir mais sobre as séries geométricas aqui (eu encorajo você a assistir a série inteira que a Khan Academy tem em séries geométricas).