Qual é o domínio da função: f (x) = sqrt (x ^ 2 (x-3) (x-4))?

Responda:

# D_ (f (x)) = (-oo, 3 uu 4, + oo) #

Explicação:

Dado

#color (branco) ("XXX") f (x) = sqrt (x ^ 2 (x-3) (x-4)) #

Para encontrar o domínio, precisamos determinar quais valores # x # não são válidos.

Desde o #sqrt ("valor negativo") # é indefinido (para números reais)

# x ^ 2 (x-3) (x-4)> = 0 #

# x ^ 2> = 0 # para todos #x em RR #

# (x-3)> 0 # para todos #x> 3, em RR #

# (x-4)> 0 # para todos #x> 4, em RR #

A única combinação pela qual

#color (branco) ("XXX") x ^ 2 (x-3) (x-4) <0 #

é quando # (x-3)> 0 # e # (x-4) <0 #

Esses são os únicos valores não válidos para (Real) # x # ocorrer quando

#color (branco) ("XXX") x> 3 # e #x <4 #

Responda:

# (- oo, 3 uu 4, oo) #

Explicação:

O domínio é onde o radicand (a expressão sob o sinal de raiz quadrada) não é negativo.

Nós sabemos isso # x ^ 2> = 0 # para todos #x em RR #.

Então, para que # x ^ 2 (x-3) (x-4)> = 0 #devemos ter # x ^ 2 = 0 # ou # (x-3) (x-4)> = 0 #.

Quando #x <= 3 #, ambos # (x-3) <= 0 # e # (x-4) <= 0 #, assim # (x-3) (x-4)> = 0 #

Quando # 3 <x <4 #, # (x-3)> 0 # e # (x-4) <0 #, assim # (x-3) (x-4) <0 #.

Quando #x> = 4 #, ambos # (x-3)> = 0 # e # (x-4)> = 0 #, assim # (x-3) (x-4)> = 0 #.

assim # x ^ 2 (x-3) (x-4)> = 0 # quando #x em (-oo, 3 uu 4, oo) #

Note que este domínio já inclui o ponto #x = 0 #, então o # x ^ 2 = 0 # condição não nos dá pontos extras para o domínio.