Mostre que int_0 ^ 1sinx / sqrt (x ^ 2 + 1) dx

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Veja explicação

Nós queremos mostrar

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Esta é uma integral "feia", então nossa abordagem não será para resolver esta integral, mas compará-la com uma integral "melhor"

Nós agora que para todos os números reais positivos #color (vermelho) (sin (x) <= x) #

Assim, o valor do integrando também será maior, para todos os números reais positivos, se substituirmos # x = sin (x) #, então se pudermos mostrar

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Então nossa primeira declaração também deve ser verdadeira

A nova integral é um simples problema de substituição

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) = sqrt (x ^ 2 + 1) _ 0 ^ 1 = sqrt (2) -1 #

O último passo é notar que #sin (x) = x => x = 0 #

Portanto, podemos concluir

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #