Qual é a derivada de -sin (x)?

A resposta anterior contém erros. Aqui está a derivação correta.

Primeiro de tudo, o sinal de menos na frente de uma função #f (x) = - sin (x) #, ao tomar um derivado, mudaria o sinal de um derivado de uma função #f (x) = sin (x) # para um oposto. Este é um teorema fácil na teoria dos limites: limite de uma constante multiplicado por uma variável igual a esta constante multiplicada por um limite de uma variável. Então, vamos encontrar a derivada de #f (x) = sin (x) # e depois multiplicá-lo por #-1#.

Temos que começar a partir da seguinte declaração sobre o limite da função trigonométrica #f (x) = sin (x) # como seu argumento tende a zero:

#lim_ (h-> 0) sin (h) / h = 1 #

A prova disso é puramente geométrica e baseia-se na definição de uma função #sin (x) #. Existem muitos recursos da Web que contêm uma prova dessa declaração, como a Página de Matemática.

Usando isso, podemos calcular um derivado de #f (x) = sin (x) #:

#f '(x) = lim_ (h-> 0) (sin (x + h) -sin (x)) / h #

Usando a representação de uma diferença de #pecado# funciona como um produto de #pecado# e # cos # (veja Unizor, Trigonometria - Trig Soma dos Ângulos - Problemas 4), #f '(x) = lim_ (h -> 0) (2 * sen (h / 2) cos (x + h / 2)) / h #

#f '(x) = lim_ (h -> 0) sen (h / 2) / (h / 2) * lim_ (h -> 0) cos (x + h / 2) #

#f '(x) = 1 * cos (x) = cos (x) #

Portanto, derivado de #f (x) = - sin (x) # é #f '(x) = - cos (x) #.