Qual é a diferença entre o teorema do restante e o teorema do fator?

Responda:

Os dois teoremas são semelhantes, mas referem-se a coisas diferentes.

Veja explicação.

Explicação:

o teorema do restante nos diz que para qualquer polinômio #f (x) #, se você dividir pelo binômio # x-a #, o restante é igual ao valor de #f (a) #.

o teorema do fator nos diz que se #uma# é um zero de um polinômio #f (x) #, então # (x-a) # é um fator de #f (x) #, e vice versa.

Por exemplo, vamos considerar o polinômio

#f (x) = x ^ 2 - 2x + 1 #

Usando o teorema restante

Nós podemos ligar #3# para dentro #f (x) #.

#f (3) = 3 ^ 2 - 2 (3) + 1 #

#f (3) = 9 - 6 + 1 #

#f (3) = 4 #

Portanto, pelo teorema restante, o restante quando você divide # x ^ 2 - 2x + 1 # por # x-3 # é #4#.

Você também pode aplicar isso ao contrário. Dividir # x ^ 2 - 2x + 1 # por # x-3 #, e o restante que você recebe é o valor de #f (3) #.

Usando o teorema do fator

O polinômio quadrático #f (x) = x ^ 2 - 2x + 1 # é igual a #0# quando # x = 1 #.

Isso nos diz que # (x-1) # é um fator de # x ^ 2 - 2x + 1 #.

Podemos também aplicar o teorema do fator ao contrário:

Nós podemos fatorar # x ^ 2 - 2x + 1 # para dentro # (x-1) ^ 2 #, assim sendo #1# é um zero de #f (x) #.

Basicamente, o teorema restante liga o restante da divisão por um binômio ao valor de uma função em um ponto, enquanto o teorema do fator liga os fatores de um polinômio aos seus zeros.