Três gregos, três americanos e três italianos estão sentados ao acaso em torno de uma mesa redonda. Qual é a probabilidade de que as pessoas nos três grupos estejam sentadas juntas?

Responda:

#3/280#

Explicação:

Vamos contar as maneiras pelas quais todos os três grupos poderiam estar sentados um ao lado do outro, e comparar isso com o número de maneiras pelas quais todos os 9 poderiam estar sentados aleatoriamente.

Vamos numerar as pessoas de 1 a 9 e os grupos #A, G, I. #

#stackrel Um overbrace (1, 2, 3), stackrel G overbrace (4, 5, 6), stackrel Eu overbrace (7, 8, 9) #

Existem 3 grupos, então existem #3! = 6# maneiras de organizar os grupos em uma linha sem perturbar suas ordens internas:

#AGI, AIG, GAI, GIA, IAG, IGA #

Até agora, isso nos dá 6 permutas válidas.

Dentro de cada grupo, existem 3 membros, então há novamente #3! = 6# maneiras de organizar os membros dentro de cada um dos 3 grupos:

#123, 132, 213, 231, 312, 321#

#456, 465, 546, 564, 645, 654#

#789, 798, 879, 897, 978, 987#

Combinado com as 6 maneiras de organizar os grupos, agora temos #6^4# permutações válidas até agora.

E como estamos em uma mesa redonda, nós permitimos os 3 arranjos em que o primeiro grupo poderia ser "metade" em uma extremidade e "metade" na outra:

# "A A G I G G I I I" #

# "A G G G I I I A" #

# "A G I G I I I A A" #

O número total de maneiras de reunir todos os 3 grupos é # 6 ^ 4 xx 3. #

O número de maneiras aleatórias de organizar todas as 9 pessoas é #9!#

A probabilidade de escolher aleatoriamente uma das formas "bem sucedidas" é então

# (6xx6xx6xx6xx3) / (9xx8xx7xx6xx5xx4xx3xx2xx1) #

# = (3) / (2xx7xx5xx4) #

#=3/280#