Por favor me ajude nisso, como fazer isso?

Responda:

#k = 3 #

Explicação:

Usando as propriedades de expoentes que # (ab) ^ x = a ^ xb ^ x # e # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, temos

# 24 ^ k = (2 ^ 3 * 3 ^ 1) ^ k = (2 ^ 3) ^ k * (3 ^ 1) ^ k = 2 ^ (3k) * 3 ^ k #

portanto #13!# é divisível por # 24 ^ k # se e apenas se #13!# é divisível por # 2 ^ (3k) # e é divisível por # 3 ^ k #.

Podemos dizer o maior poder de #2# pelo qual #13!# é divisível por se olharmos para seus fatores que são divisíveis por #2#:

#2 = 2^1#

#4 = 2^2#

#6 = 2^1*3#

#8 = 2^3#

#10 = 2^1*5#

#12 = 2^2*3#

Como nenhum dos fatores ímpares contribuem com quaisquer fatores de #2#, temos

# 13! = (2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 1 * 2 ^ 3 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2) * m = 2 ^ (10) * m #

Onde # m # é um inteiro não divisível por #2#. Como tal, sabemos que #13!# é divisível por # 2 ^ (3k) # se e apenas se #2^10# é divisível por # 2 ^ (3k) #significado # 3k <= 10 #. Como #k # é um inteiro, isso significa #k <= 3 #.

Em seguida, podemos ver quais fatores de #13!# são divisíveis por #3#:

#3 = 3^1#

#6 = 3^1 * 2#

#9 = 3^2#

#12 = 3^1*4#

Como nenhum outro fator de #13!# contribuir com quaisquer fatores de #3#, isso significa

# 13! = (3 ^ 1 * 3 ^ 1 * 3 ^ 2 * 3 ^ 1) * n = 3 ^ 5 * n #

Onde # n # é um inteiro não divisível por #3#. Como tal, sabemos que #3^5# é divisível por # 3 ^ k #significado #k <= 5 #.

O maior inteiro não negativo satisfazendo as restrições #k <= 3 # e #k <= 5 # é #3#, dando-nos a nossa resposta # k = 3 #.

Uma calculadora irá verificar #(13!)/24^3 = 450450#, enquanto que #(13!)/24^4=18768.75#