O que é f (x) = int e ^ xcosx-tan ^ 3x + senx dx se f (pi / 6) = 1?

Responda:

# e ^ x / 2 (sen (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Explicação:

Começamos por dividir a integral em três:

#int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx + int sin (x) dx = #

# = int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx-cos (x) #

Vou chamar a Integral 1 integral esquerda e a Integral 2 direita

Integral 1

Aqui precisamos de integração por partes e um pequeno truque. A fórmula para integração por partes é:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

Neste caso, eu vou deixar #f (x) = e ^ x # e #g '(x) = cos (x) #. Nós entendemos isso

#f '(x) = e ^ x # e #g (x) = sin (x) #.

Isso faz com que nossa integral:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) dx #

Agora podemos aplicar a integração por partes novamente, mas desta vez com #g '(x) = sin (x) #:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) - (- e ^ xcos (x) - (- int e ^ xcos (x) dx)) #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) dx #

Agora podemos adicionar a integral em ambos os lados, dando:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) #

#int e ^ xcos (x) dx = 1/2 (e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x)) + C = #

# = e ^ x / 2 (sen (x) + cos (x)) + c #

Integral 2

Podemos primeiro usar a identidade:

#tan (theta) = sin (theta) / cos (teta) #

Isto dá:

#int tan ^ 3 (x) dx = int sin ^ 3 (x) / cos ^ 3 (x) dx = int (sen (x) sen ^ 2 (x)) / cos ^ 3 (x) dx #

Agora podemos usar a identidade pitagórica:

# sin ^ 2 (theta) = 1-cos ^ 2 (teta) #

#int (sen (x) (1-cos ^ 2 (x))) / cos ^ 3 (x) dx #

Agora podemos introduzir uma substituição de u com # u = cos (x) #. Nós então dividimos pela derivada, # -sin (x) # para integrar em relação a #você#:

# -int (cancelar (sen (x)) (1-cos ^ 2 (x))) / (cancelar (sen (x)) cos ^ 3 (x)) du = -int (1-u ^ 2) / u ^ 3 du = int u ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3 du = #

# = int 1 / u-1 / u ^ 3 du = ln | u | + 1 / (2u ^ 2) + C = ln | cos (x) | + 1 / (2cos ^ 2 (x)) + C #

Completando a integral original

Agora que sabemos Integral 1 e Integral 2, podemos conectá-los novamente à integral original e simplificar para obter a resposta final:

# e ^ x / 2 (sen (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2seg ^ 2 (x) -cos (x) + c #

Agora que conhecemos a antiderivada, podemos resolver pela constante:

#f (pi / 6) = 1 #

# e ^ (pi / 6) / 2 (sen (pi / 6) + cos (pi / 6)) - ln | cos (pi / 6) | -1 / 2seg ^ 2 (pi / 6) -cos (pi / 6) + C = 1 #

# -2 / 3-sqrt (3) / 2 + 1/2 (1/2 + sqrt (3) / 2) e ^ (pi / 6) -ln (sqrt (3) / 2) + C = 1 #

# C = 1 + 2/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

# C = 5/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Isso dá a nossa função:

# e ^ x / 2 (sen (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #