Quais são os extremos de f (x) = 3x-1 / senx em [pi / 2, (3pi) / 4]?

Responda:

O mínimo absoluto no domínio ocorre em aprox. # (pi / 2, 3,7124) #, e o máximo absoluto no domínio ocorre em aprox. # (3pi / 4, 5,6544) #. Não há extremos locais.

Explicação:

Antes de começarmos, nos cabe analisar e ver se #sin x # assume um valor de #0# em qualquer ponto do intervalo. #sin x # é zero para todo x tal que #x = npi #. # pi / 2 # e # 3pi / 4 # são ambos menos de # pi # e maior que # 0pi = 0 #; portanto, #sin x # não assume um valor de zero aqui.

Para determinar isso, lembre-se de que um extremo ocorre onde #f '(x) = 0 # (Pontos críticos) ou em um dos pontos finais. Isso em mente, tomamos a derivada do f (x) acima, e encontramos pontos onde essa derivada é igual a 0

# (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / sen x) = 3 - d / dx (1 / sinx) #

Como devemos resolver este último termo?

Considere brevemente o regra recíproca, que foi desenvolvido para lidar com situações como o nosso último termo aqui, # d / (dx) (1 / sin x) #. A regra recíproca nos permite contornar diretamente usando a regra da cadeia ou quociente, afirmando que, dada uma função diferenciável #g (x) #:

# d / dx 1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g (x)) ^ 2 #

quando #g (x)! = 0 #

Voltando à nossa principal equação, nós paramos com;

# 3 - d / dx (1 / sin x) #.

Desde a #sin (x) # é diferenciável, podemos aplicar a regra recíproca aqui:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (-cos x) / sin ^ 2x #

Definindo isso igual a 0, chegamos a:

# 3 + cos x / sin ^ 2x = 0. #

Isso só pode ocorrer quando #cos x / sin ^ 2 x = -3. #. A partir daqui, cabe a nós usar uma das definições trigonométricas, especificamente # sin ^ 2x = 1 - cos ^ 2 x #

# cosx / sen ^ 2x = -3 => cosx / (1-cos ^ 2x) = -3 => cos x = -3 + 3cos ^ 2x => 3cos ^ 2x - cos x - 3 = 0 #

Isso se assemelha a um polinômio, com #cos x # substituindo nosso tradicional x. Assim, nós declaramos #cos x = u # e…

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #. Usando a fórmula quadrática aqui …

# (1 + - sqrt (1 - 4 (-9))) / 6 = (1 + - sqrt 37) / 6 #

Nossas raízes ocorrem em #u = (1 + -sqrt37) / 6 # de acordo com isso. No entanto, uma dessas raízes (# (1 + sqrt37) / 6 #) não pode ser uma raiz para #cos x # porque a raiz é maior que 1 e # -1 <= cosx <= 1 # para todo x. Nossa segunda raiz, por outro lado, calcula aproximadamente #-.847127#. No entanto, isso é menor que o valor mínimo #cos x # função pode no intervalo (desde #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2) = -.707 <-.847127 #. Portanto, não há nenhum ponto crítico no domínio.

Com isso em mente, devemos retornar aos nossos endpoints e colocá-los na função original. Ao fazê-lo, obtemos #f (pi / 2) aproximadamente 3,7124, f (3pi / 4) aproximadamente 5,6544 #

Assim, nosso mínimo absoluto no domínio é de aproximadamente # (pi / 2, 3,7124), # e nosso máximo é aproximadamente # (3pi / 4, 5,6544) #