Responda:
#xx ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
Explicação:
Comece usando a regra de soma para integrais e dividindo-os em duas integrais separadas:
# intxe ^ (2-x) dx + int3x ^ 2dx #
A primeira dessas mini-integrais é resolvida usando integração por partes:
Deixei # u = x -> (du) / dx = 1-> du = dx #
# dv = e ^ (2-x) dx-> intdv = inte ^ (2-x) dx-> v = -e ^ (2-x) #
Agora usando a integração pela fórmula de peças # intudv = uv-intvdu #, temos:
# intxe ^ (2-x) dx = (x) (- e ^ (2-x)) - int (-e ^ (2-x)) dx #
# = - xe ^ (2-x) + inte ^ (2-x) dx #
# = - xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) #
O segundo deles é um caso da regra de potência reversa, que afirma:
# intx ^ ndx = (x ^ (n + 1)) / (n + 1) #
assim # int3x ^ 2dx = 3 ((x ^ (2 + 1)) / (2 + 1)) = 3 (x ^ 3/3) = x ^ 3 #
Assim sendo, # intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + C # (lembre-se de adicionar a constante de integração!)
Nós recebemos a condição inicial #f (0) = 1 #, assim:
# 1 = - (0) e ^ (2- (0)) - e ^ (2- (0)) + (0) ^ 3 + C #
# 1 = -e ^ 2 + C #
# C = 1 + e ^ 2 #
Fazendo esta substituição final, obtemos nossa solução final:
# intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
