Os dois lados de um triângulo têm 6 me 7 m de comprimento e o ângulo entre eles aumenta a uma taxa de 0,07 rad / s. Como você encontra a taxa na qual a área do triângulo está aumentando quando o ângulo entre os lados do comprimento fixo é pi / 3?

As etapas gerais são:

Desenhe um triângulo consistente com a informação dada, rotulando a informação relevante
Determine quais fórmulas fazem sentido na situação (Área do triângulo inteiro com base em dois lados de comprimento fixo e relações trigonométricas de triângulos retos para a altura variável)
Relacione quaisquer variáveis desconhecidas (altura) de volta para a variável # (teta) # que corresponde à única taxa dada # ((d theta) / (dt)) #
Faça algumas substituições em uma fórmula "principal" (a fórmula da área) para que você possa antecipar o uso da taxa dada
Diferencie e use a taxa dada para encontrar a taxa que você está procurando # ((dA) / (dt)) #

Vamos anotar as informações dadas formalmente:

# (d theta) / (dt) = "0.07 rad / s" #

Então você tem dois lados de comprimento fixo e um ângulo entre eles. O terceiro tamanho é um valor variável, mas é tecnicamente um tamanho irrelevante. O que nós queremos é # (dA) / (dt) #. Não há nenhuma indicação de que este seja um triângulo retângulo, portanto, vamos começar presumindo que não é no momento.

Um triângulo teoricamente consistente é:

Tenha em mente que isso não é proporcionalmente representativo do verdadeiro triângulo. A área disso pode ser encontrada mais facilmente com:

#A = (B * h) / 2 #

onde nossa base é claro #6#. O que é # h #, Apesar? Se traçarmos uma linha divisória verticalmente do ápice até a base, automaticamente teremos um triângulo retângulo no lado esquerdo do triângulo como um todo. independentemente do comprimento do lado # x #:

Agora nós Faz tem um triângulo retângulo. Observe, no entanto, que nossa fórmula de área # h # mas não # theta #e nós só sabemos # (d theta) / (dt) #. Então, precisamos representar # h # em termos de um ângulo. Sabendo que o único lado conhecido no triângulo da esquerda é o #7#Lado comprido:

#sintheta = h / 7 #

# 7sintheta = h #

Até agora, nós temos:

# (d theta) / (dt) = "0.07 rad / s" # (1)

#A = (Bh) / 2 # (2)

# 7sintheta = cor (verde) (h) # (3)

Então, nós podemos ligar (3) para dentro (2), diferenciar (2) e implicitamente adquirir # (d theta) / (dt) #e ligue (1) para dentro (2) para resolver # (dA) / (dt) #, nosso objetivo:

#A = (6 * cor (verde) (7sintheta)) / 2 = 21sintheta #

#color (azul) ((dA) / (dt)) = 21costheta ((dteta) / (dt)) #

# = 21costheta ("0,07 rad / s") #

Finalmente, no #theta = pi / 3 #, temos #cos (pi / 3) = 1/2 # e:

# = 10.5 (0.07) = cor (azul) ("0.735 u" ^ 2 "/ s") #

(Observe que #6*7# significa que as unidades se tornam # "u" * "u" = "u" ^ 2 #e #2# não é um comprimento lateral por isso não tinha unidades. Além disso, # "rad" # é geralmente considerado como omitido, ou seja, # "rad / s" => "1 / s" #)

A altitude de um triângulo está aumentando a uma taxa de 1,5 cm / min enquanto a área do triângulo está aumentando a uma taxa de 5 cm / min. Em que taxa a base do triângulo muda quando a altitude é de 9 cm e a área é de 81 cm quadrados?

Este é um problema de tipo de taxas relacionadas (de alteração). As variáveis de interesse são a = altitude A = área e, como a área de um triângulo é A = 1 / 2ba, precisamos de b = base. As taxas de mudança dadas são em unidades por minuto, então a variável independente (invisível) é t = tempo em minutos. Nós recebemos: (da) / dt = 3/2 cm / min (dA) / dt = 5 cm "" ^ 2 / min E nos pedem para encontrar (db) / dt quando a = 9 cm e A = 81cm "" ^ 2 A = 1 / 2ba, diferenciando em relação a t, obtemos: d / dt (A) = d / dt

A água está vazando de um tanque cônico invertido a uma taxa de 10.000 cm3 / min ao mesmo tempo em que a água é bombeada para o tanque a uma taxa constante Se o tanque tiver uma altura de 6m e o diâmetro na parte superior é de 4m se o nível da água estiver subindo a uma velocidade de 20 cm / min quando a altura da água é de 2m, como você encontra a taxa na qual a água está sendo bombeada para o tanque?

Seja V o volume de água no tanque, em cm ^ 3; seja h a profundidade / altura da água, em cm; e seja r o raio da superfície da água (no topo), em cm. Como o tanque é um cone invertido, o mesmo acontece com a massa de água. Uma vez que o tanque tem uma altura de 6 me um raio no topo de 2 m, triângulos semelhantes implicam que frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 de modo que h = 3r. O volume do cone invertido de água é então V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Agora diferencie ambos os lados em relação ao tempo t (em minutos) para obter frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {

Um triângulo tem os lados A, B e C. O ângulo entre os lados A e B é (5pi) / 6 e o ângulo entre os lados B e C é pi / 12. Se o lado B tiver um comprimento de 1, qual é a área do triângulo?

Soma de ângulos dá um triângulo isósceles. Metade do lado de entrada é calculado a partir de cos e a altura do pecado. Área é encontrada como a de um quadrado (dois triângulos). Área = 1/4 A soma de todos os triângulos em graus é de 180 ^ o em graus ou π em radianos. Portanto: a + b + c = π π / 12 + x + (5π) / 6 = π x = π-π / 12- (5π) / 6 x = (12π) / 12-π / 12- (10π) / 12 x = π / 12 Percebemos que os ângulos a = b. Isso significa que o triângulo é isósceles, o que leva a B = A = 1. A imagem a seguir mostra como a altura oposta de c pode ser calculad