Qual é a integral de int tan ^ 5 (x)?

Responda:

#int tan ^ (5) (x) dx = 1 / 4sec ^ (4) (x) -sec ^ (2) (x) + ln | seg (x) | + c #

Explicação:

#int tan ^ (5) (x) dx #

Sabendo o fato de que # tan ^ (2) (x) = sec ^ 2 (x) -1 #, podemos reescrevê-lo como

#int (sec ^ 2 (x) -1) ^ (2) tan (x) dx #, que produz

#int sec ^ 3 (x) seg (x) tan (x) dx-2int seg ^ 2 (x) tan (x) dx + int tan (x) dx #

Primeira integral:

Deixei # u = s (x) -> du = s (x) tan (x) dx #

Segunda integral:

Deixei #u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx #

Assim sendo

#int u ^ 3 du - 2int u du + int tan (x) dx #

Observe também que #int tan (x) dx = ln | sec (x) | + C #, dando-nos assim

# 1/4 u ^ 4 - 1/2 u ^ 2 + ln | seg (x) | + C #

Substituindo #você# de volta para a expressão nos dá o resultado final de

# 1 / 4sec ^ (4) (x) -cancel (2) * (1 / cancel (2)) seg ^ (2) (x) + ln | seg (x) | + C #

portanto

#int tan ^ (5) (x) dx = 1 / 4sec ^ (4) (x) -sec ^ (2) (x) + ln | seg (x) | + c #

Qual é a integral de int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Nosso grande problema nessa integral é a raiz, então queremos nos livrar dela. Podemos fazer isso introduzindo uma substituição u = sqrt (2x-1). A derivada é então (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Então nós nos dividimos (e lembre-se, dividir por um recíproco é o mesmo que multiplicar apenas pelo denominador) para integrar com respeito a u: int ( x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancelar (sqrt (2x-1)) cancelar (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du Agora tudo o que precisamos faz

Qual é a integral de int tan ^ 4x dx?

(tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C Os antiderivados de trigonometria geralmente envolvem quebrar a integral para aplicar Identidades Pitagóricas, e eles usando uma substituição u. É exatamente o que faremos aqui. Comece reescrevendo inttan ^ 4xdx como inttan ^ 2xtan ^ 2xdx. Agora podemos aplicar a Identidade de Pitágoras em ^ 2x + 1 = sec ^ 2x, ou tan ^ 2x = sec ^ 2x-1: inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) tan ^ 2xdx Distribuindo o tan ^ 2x : cor (branco) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2x-tan ^ 2xdx Aplicando a regra de soma: cor (branco) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx Avaliaremos essas integrais

Como você avalia a integral definida int sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) de [0, pi / 4]?

Pi / 4 Observe que a partir da segunda identidade pitagórica que 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x Isso significa que a fração é igual a 1 e isso nos deixa a integral bastante simples de int_0 ^ (pi / 4) dx = x | _0 ^ (pi / 4) = pi / 4